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1、安徽建筑大学毕 业 设 计 (论 文)专 业 信息与计算科学 班 级 信息一班 学生姓名 刘小欢 学 号 10207010114 课 题 二阶线性微分方程求解方法 指导教师 张素平 2014年3月31日摘要二阶线性微分方程在微分理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用，其中有很多应用类型的问题中都归结为二阶线性微分方程的求解问题，而常系数微分方程根据线性常微分方程的一般理论是可解的.然而变系数二阶线性常微分方程的求解却十分困难，至今还没有一个普遍有效的方法，通常采用的级数解法只能得到某点领域内的局域解或者近似解，不便于科学研究的分析.因此探讨它们的解法具有重要的理论和应用价值.
2、在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质和解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的.但是变系数微分方程的解法比较麻烦.如果通过某些适当的变换将给定的二阶变系数微分方程化为常系数微分方程，则该二阶变系数微分方程就可以求解.问题在于怎么样才能知道该二阶变系数微分方程能化为可解的二阶常系数微分方程，以及通过什么样的变换才能化为常系数微分方程.本文通过对微分方程理论的研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助变量代换等方法将给定的变系数微分方程化为常系数微分方程求解，提出二阶变系数微分方程的求解基本方法和步骤.关键词：变系数二阶微分方程；变量代换；常数变易；通解；线性变
3、换；AbstractSecond order liner homogeneous differential equation play an important role in differential theories, and used extensively in science research and technology, so there have many problems with application type all turn to second order liner dirrerential equations solve problem. However, ord
4、inary coefficient differential equation has solve according to liner differential equation theory. But the solve for varied coefficient second order liner differential equation is hard to get, and havent had thought out an efficient way to make out it so far. The most often used way is series method
5、, which just can get its local area solve or approximate solve. It is noe appropriate to do science research and analyze. So to discuss and research the solve of varied coefficient second order liner differential equation has important applied valuable.In differential equation theory, some special d
6、ifferential equations solve ways have already been researched.So they can be seemd as couled be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, the solve for this sort of equation is hard.This article utilizes different ways to research this problem in differential equation theori
7、es, which expand the could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By using variable transformation make varied coefficient second order liner differential equation become as ordinary coefficient second order liner differential equation, thus conclude the metho
8、d and process of solve for second order varied coefficient liner differential equation.keywords: varied coefficient second order differential equation; variable transformation; constant differentiation; general solve; liner transformation;目录摘要Abstract第一章 绪论11.1微分方程的发展和应用11.2 二阶变系数线性常微分方程的重要性21.3二阶变系
9、数线性常微分方程求解所面临的问题21.4本文的研究内容及意义3第二章 二阶变系数线性常微分方程的常系数化法42.1 线性常微分方程的常见的保线性变换42.2 化变系数微分方程为常系数微分方程52.3 通过自变量和未知联合变换实现常系数化72.4 变系数方程常系数化求解的步骤8第三章 二阶变系数线性微分方程的解法93.1 引 言93.2对一般的二阶变系数齐次线性方程103.2 待定函数法133.3 自变量变换法153.4 常数变易法19第四章 总结25参考文献26第一章 绪论1.1微分方程的发展和应用数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系.但是在大量的实际问题中
10、遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数间的关系式.这种联系着自变量、未知函数及它的倒数的关系式，数学上称之为微分方程.微分方程是研究自变量、未知函数及它的导数的之间的关系的数学科学.它是伴随着微积分的产生和发展而形成的一门历史悠久的学科，至今已有 300 多年的历史了.微分方程来源于生产实践，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况.常微分方程是研究自然科学和社会科中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学方法.牛顿在研究天体力学和经典力学
11、的时候，利用了微分方程这个工具，证实了地球绕太阳的运动轨迹是一个椭圆，从理论上得到了行星运动规律.此后，法国天文学家勒维烈利用微分方程计算出海王星的位置，这些都是表明微分方程在认识自然、改造自然等方面的重要作用，所有说常微分方程在自然科学领域和社会科学领域有着广泛的应用.在常微分方程发展初期，人们主要是针对各种实际问题列出各种方程，用积分的方法求其准确的解析表达式，也就是初等积分法.这种方法一直沿用到十九世纪中期，知道法国数学家刘维尔于 1841 年在他的一篇论文中提到大多数常微分方程不能用初等积分法求解，由此促使人们放弃这种方法.从此常微分方程进入了基础定理和新型方法的研究阶段.随着科学的发
12、展和社会的进步，常微分方程在越来越多的学科领域内有着重要的作用，例如化学、生物学、自动控制、电子技术等，都提出了大量的微分方程问题.同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题.此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进.例如几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具,对微分方程的发展产生了深刻的影响.反过来，常微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展.1.2 二阶变系数线性常微分方程的重要性常微分方程作为其他自然科学和偏微分方程的基础，一直以来受到很多学者们的重视，很多专家学者发表相关著作和论文，从而使常微分方程的解的理论发展到了
13、比较完善的程度.根据常微分方程的基本理论，任何非线性齐次常微分方程的解都可以归结为求相应的齐次常微分方程的基本解组.而对于齐次线性常微分方程而言，高阶的常微分方程可以通过降阶法将其化为一阶或者二阶的常微分方程求解，因此在微分方程的求解问题中，低阶常微分方程的求解占着重要的作用.众所周知，所有的一阶或者二阶常系数微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍的方法，但是幂级数解法计算量大，而且不能得到解析解，不便于理论上的分析.因此，变系数二阶微分方程的求解在微分方程理论中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的.另外，二阶变系数常微分方
14、程在物理学及科学技术中有着广泛的应用，例如，长在散射理论中用到的 Riccati Bessal方程等都是变系数二阶常系数线性微分方程，可以说很多应用问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题.此外，二阶变系数常微分方程及其本征值问题是求解数学物理方程的基础，可见变系数二阶线性常微分方程在物理等学科中发挥着非常巨大的作用.1.3二阶变系数线性常微分方程求解所面临的问题虽然二阶变系数线性常微分方程有着广泛的应用，其解的结构在理论上也是比较完善的，但是具体如何求解，则没有一般的方法可循.除了一些已知的特殊函数方程外,大多数方程看起来只有利用幂级数解法，但是该方法较繁，运算量大，而且得到的解是无穷级数的
15、形式给出的，不便于进一步分析，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的.很多学者在教材和文献中介绍了用一些特殊的变换，将变系数二阶线性微分方程化为二阶常系数线性微分方程来求解，茹著名的Euler方程，自变量的对数变换可化为常系数，但都只是通过某种特殊的变换解决其中一类的方程，没有从总体上提出系统可行的方法，而且对于一个陌生的变系数方程，在将它转化为已知可解的方程时，寻找合适可行的变换也是很困难的，不管是哪种方法都要经过大量的复杂的数学计算.虽然说可以借助计算机软件来计算，但是目前计算机软件在理论上还是不是很完善的，缺乏智能的判断，不能很好的解决问题，有时候反而使问题变得复杂化.1.4本文的研究内容及意义二阶变系数线性微分方程的求解基本理论已经发展到
