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1、函数（7）指数与指数函数知识能否忆起一、根式1根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数(a0)负数没有偶次方根2两个重要公式(1)(2)()na(注意a必须使有意义)二、有理数指数幂1幂的有关概念(1)正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；(2)负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂的性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)
2、sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)三、指数函数的图象和性质函数yax(a0，且a1)图象0a1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域R值域(0，)单调性减函数增函数函数值变化规律当x0时，y1当x1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1小题能否全取1(教材习题改编)化简(2)6(1)0的结果为()A9B7C10 D9解析：选B原式(26)17.2(教材习题改编)函数f(x)的定义域是()A(，0 B0，)C(，0) D(，)解析：选A12x0，2x1，x0.3已知函数f(x)4ax1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A(1,5) B(
3、1,4)C(0,4) D(4,0)解析：选A当x1时，f(x)5.4若函数y(a23a3)ax是指数函数，则实数a的值为_解析：a23a31，a2或a1(舍)答案：25若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知0a211，即1a22，得a1或1a.答案：(，1)(1，)1.分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程2指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0a1进行分类讨论指数式的化简与求值典题导入例1化简下列各式(其中各字母均为正数)(1)；(2)0.50
4、.1230.自主解答(1)原式ab.(2)原式31003100.由题悟法指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂对于化简结果，形式力求统一以题试法1计算：(1)(0.027)2(1)0；(2).解：(1)原式(1)22149145.(2)原式aabba0b0.指数函数的图象及应用典题导入例2 (2012四川高考)函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是()自主解答法一：令yaxa0，得x1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a1时，yaxa是由ya
5、x向下平移a个单位，且过(1,0)，排除选项A、B；当0a1时，yaxa是由yax向下平移a个单位，因为0abcBacbCcab Dbca(2)(2012上海高考)已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_解析：(1)由0.20.6,0.40.40.6，即bc；因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc.(2)结合函数图象求解因为yeu是R上的增函数，所以f(x)在1，)上单调递增，只需u|xa|在1，)上单调递增，由函数图象可知a1.答案：(1)A(2)(，1典例函数yxx1在x3,2上 的值域是_ 常规解法yxx12x12，因为x3,2
6、，所以x8.当x时，ymin；当x8时，ymax57.所以函数y的值域为.答案高手支招1解答本题可利用换元法，即令tx，把函数化为yt2t1，其中t，然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域2对于含ax、a2x的表达式，通常可以令tax进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系巧思妙解因为x3,2，若令tx，则t.则yt2t12.当t时ymin；当t8时，ymax57.答案为.针对训练若0a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，则a的值为_解析：令tax(0a0)因为0a0，所以a.答案：1下列函数中值域为正实数集的是()
7、Ay5xBy1xCy Dy解析：选B1xR，yx的值域是正实数集，y1x的值域是正实数集2已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)等于()A5 B7C9 D11解析：选B由f(a)3得2a2a3，两边平方得22a22a29，即22a22a7，故f(2a)7.3函数f(x)2|x1|的图象是()解析：选Bf(x)根据分段函数即可画出函数图象4已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域()A9,81 B3,9C1,9 D1，)解析：选C由f(x)过定点(2,1)可知b2，因f(x)3x2在2,4上是增函数，可知C正确5(2012深圳诊断)设函数f(x)a
8、|x|(a0，且a1)，f(2)4，则()Af(2)f(1) Bf(1)f(2)Cf(1)f(2) Df(2)f(2)解析：选Af(2)4，a|2|4，a，f(x)|x|2|x|，f(x)是偶函数，当x0时，f(x)2x是增函数，xf(1)6若(2m1)(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(1,2) D.解析：选D因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m；解2m1m2m1，即m2m20，得1m2.综上所述，m的取值范围是mf(n)，则m、n的大小关系为_解析：a22a30，a3或a1(舍)函数f(x)ax在R上递增，由f(m)f(n)，得mn.答案：mn9若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)且f(1)9.则f(x)的单调递减区间是_解析：由f(1)9得a29，a3.因此f(x)3|2x4|，又g(x)|2x4|的递减区间为(，2，f(x)的单调递减区间是(，2答案：(，210求下列函数的定义域和值域(1)y2xx2；(2)y .解：(1)显然定义域为R.2xx2(x1)211，且yx为减函数2xx21.故函数y2xx2的值域为.(2)由32x10，得32
