第八章 三角形的全等与相似专题一 三角形的全等一、 基础知识点全等三角形指两个完全重合的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等1、定义：能够完全重合（大小，形状都相等的三角形）的两个三角形称为全等三角形两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠2、当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角3、全等判定定理（判定方法）：A．三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)B．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)C．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)D．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)E．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)F. 三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等4、性质 三角形全等的性质： 1．全等三角形的对应角相等 2．全等三角形的对应边相等 3．全等三角形的对应顶点位置相等 4．全等三角形的对应边上的高对应相等 5．全等三角形的对应角的角平分线相等。
6．全等三角形的对应中线相等 7．全等三角形面积相等 8．全等三角形周长相等 9．全等三角形可以完全重合二、专题训练一、选择题1. （安徽芜湖）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）. A． B． 4 C． D．【答案】B2. （山东威海）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（ ）．A． EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE 【答案】C3. （浙江衢州）如图，平分于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D. 4【答案】B4. （江西）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC【答案】D5. （江苏宿迁）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA【答案】B6. （江西南昌）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）.A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC【答案】D7. （上海）下列命题中，真命题是（ ）．(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等；(C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．【答案】D8. （安徽芜湖）如图，已知中，， 是高和的交点，，则线段的长度为（ ）. A． B． 4 C． D．【答案】B二、填空题1. （江西，16）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。
有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）【答案】①②③2. （广东湛江）如图，点在同一直线上, ,, （填“是”或“不是”） 的对顶角，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）．【答案】三、解答证明题1、如图，AB=CD，AD=CB；试证明AD∥BC2、已知：如图，∥，，3、 已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，， 求证：4、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，，，，垂足分别是A、D5、 已知：如图，，，6、 已知：如图， 是一个钢架，，是连结点与中点的支架 求证：7、如图，在中，是上一点，交于点，，，与有什么位置关系？说明你判断的理由8、已知：如图，和相交于点，，9、如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗？请说明理由（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗？为什么？ 10、如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，试说明BD平分EF；若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。
11、如图：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M、N是AB的中点且BN=BC求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM12、如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG 求证：（1）AD=AG，（2）AD⊥AG13、（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．ABCDE14、（ 2011重庆江津， 22，10分）在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.ABCEF15、（眉山）在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。
⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积辅助线类型题】16、如图，在△ABC中，∠B＝90º、AB=BC、BD=CE，M是AC边上的中点，ADBECM试说明：△DEM是等腰三角形17、如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BD，DF⊥AB于F求证：CD=DF18、如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想19、（2011浙江省，19，8分）如图，点D，E分别在AC，AB上．(1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC；(2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE” 记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）．专题二 三角形的相似一、 基础知识点相似三角形指两个形状完全相同的三角形，而该两个三角形的三个对应角相等、三条对应边成比例1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例. (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方3、判定定理（判定方法）(1)两角对应相等两三角形相似. (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.) (3)三边对应成比例,两个三角形相似. 直角三角形相似：A.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
B.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似4、其他相关知识点1.两个全等的三角形一定相似 （全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1） 2.两个等腰直角三角形一定相似 （两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似 3.两个等边三角形一定相似推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似性质： 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例 2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比 3.相似三角形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 6.若a:c =c:b，即c的平方=ab,则c叫做a,b的比例中项 7.c/d=a/b 等同于ad=bc.二、专题训练1选择题专题1、如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为（ ）A.60° B.70° C.80° D.120°ABCDO图12、如图，等边△ABC的边长为。