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1、中考数学压轴题精编附带答案(人教版)1(人教版)已知:二次函数yax 2bx2的图象经过点(1,0),一次函数的图象经过原点和点(1,b),其中ab0且a、b为实数(1)求一次函数表达式(用含b的式子表示);(2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求| x1x2|的范围1解:(1)一次函数过原点,设一次函数的表达式为ykx一次函数过(1,b),bk1,kb一次函数的表达式ybx 3分(2)二次函数yax 2bx2的图象经过点(1,0),0ab2b2a 4分由得ax 22(2a)x20 5分4(2a)28a4(a1)2120方程有两个不相
2、等的实数根,方程组有两组不同的解这两个函数的图象交于不同的两点 6分(3)两交点的横坐标x1、x2分别是方程的解x1x2,x1x2| x1x2|(或由求根公式得出) 8分ab0,b2a,1a2令函数y(1)23,则当1a2时,y随a增大而减小4(1)2312 9分22| x1x2|10分2(人教版)如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OAcm,OC8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为t秒OyxCBAQP(1)用t的式子表示OPQ的面积S;(2)求证
3、:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;(3)当OPQ与PAB和QPB相似时,抛物线yx 2bxc经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比2解:(1)CQt,OPt,CO8,OQ8tSOPQ(8t)tt 2t(0t8)3分(2)S四边形OPBQS矩形ABCD SPAB SCBQ8t8(t) 5分四边形OPBQ的面积为一个定值,且等于 6分(3)当OPQ与PAB和QPB相似时,QPB必须是一个直角三角形,依题意只能是QPB90又BQ与AO不平行,QPO不可能等于PQB,APB不可能等于PBQ
4、根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP 7分,即,解得:t4经检验:t4是方程的解且符合题意(从边长关系和速度考虑)此时P(,0)B(,8)且抛物线yx 2bxc经过B、P两点OyxCBAQPMHN抛物线是yx 2x8,直线BP是yx88分设M(m,m8),则N(m,m 2m8)M是BP上的动点,my1x 2x8( x)2抛物线的顶点是P(,0)又y1x 2x8与y2x8交于P、B两点当m时,y2y1 9分| MN | y2y1|y2y1(m8)(m 2m8)m 2m16(m)22当m时,MN有最大值是2,此时M(,4)设MN与BQ交于H点,则H(,7)SBHM 3SBHM : S五
5、边形QOPMH :()3 : 29当线段MN的长取最大值时,直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比为3 : 2910分3如图、,在平面直角坐标系中,一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的OAB重合,现将三角板CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点),按顺时针方向旋转180到CED的位置(1)求C 点的坐标;(2)求经过O、A、C 三点的抛物线的解析式;(3)如图,G是以AB为直径的圆,过B点作G的切线与x轴相交于点F,求切线BF的解析式;(4)抛物线上是否存在一点M,使得SAMF : SOAB16 : 3?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由yxBAO(D)G(C)(
6、E)FC图yxBAO(E)G(C)(D)图yxBAO(D)G(C)(E)C图3解:(1)C 点的横坐标为223,纵坐标为2C 点的坐标为(3,)2分(2)抛物线过原点O(0,0),设抛物线的解析式为yax 2bx把A(2,0),C(3,)代入,得解得a,b 3分抛物线的解析式为yx 2x 4分(3)ABF90,BAF60,AFB30又AB2,AF4,OF2,F(2,0)yxBAO(D)G(C)(E)FCM1M2设切线BF的解析式为ykxb把B(1,),F(2,0)代入,得解得k,b 5分切线BF的解析式为yx 6分(4)假设存在,设M的坐标为(x,x 2x)当点M在x轴上方时由SAMF : S
7、OAB16 : 3,得4(x 2x):216 : 3整理得x 22x80,解得x12,x24当x2时,y(2)2(2)当x4时,y4 24M1(2,),M2(4,)8分当点M在x轴下方时由SAMF : SOAB16 : 3,得4(x 2x):216 : 3整理得x 22x80,此方程无实数解 9分综上所述,抛物线上存在点M1(2,)和M2(4,)使得SAMF : SOAB16 : 3 10分4已知:等边三角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B时运动终止),过点M、N分别作AB边的垂线,与A
8、BC的其它边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为t秒(1)线段MN在运动的过程中,t为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积;CPQBAMN(2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围CQBAMNPD图14解:(1)如图1,过点C作CDAB于D,则AD2当MN运动到被垂直平分时,四边形MNQP是矩形即AM时,四边形MNQP是矩形t秒时,四边形MNQP是矩形PMAMtan60S四边形MNQP 4分CPQBAMN图2(2)当0 t 1时,如图2S四边形MNQP (PMQN)MN(t1
9、)1t 6分当12时,如图3CPQBAMN图3S四边形MNQP (PMQN)MN(3t)1 8分当23时,如图4S四边形MNQP (PMQN)MN(3t)(4t)1CQPBAMN图4t 11分5如图,在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别为A(2,0),B(6,0),C(0,3)(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)过C点作CD平行于x轴交抛物线于点D,写出D点的坐标,并求AD、BC的交点E的坐标;(3)若抛物线的顶点为P,连结PC、PD,判断四边形CEDP的形状,并说明理由-1-1yxO-1DCPEAB5解:(1)抛物线经过点C(0,3),可设抛物线的解析式为yax 2
10、bx3(a0)又抛物线经过点A(2,0),B(6,0) 解得 3分抛物线的解析式为yx 2x3 4分(2)D点的坐标为D(4,3) 5分-1-1yxO-1DCPEABF设直线AD的解析式为ymxn把A(2,0),D(4,3)代入,解得m,n1直线AD的解析式为yx1 同理可求得直线BC的解析式为yx3 联立求得交点E的坐标为E(2,2)8分(3)连结PE交CD于点Fyx 2x3(x2)24顶点P的坐标为P(2,4)9分又E(2,2),C(0,3),D(4,3)PFEF1,CFFD2,且CDPE 11分四边形CEDP是菱形 12分yxODCABEFl6如图,抛物线yx 2x3与x轴相交于点A、B
11、,与y轴相交于点C,顶点为点D,对称轴l与直线BC相交于点E,与x轴相交于点F(1)求直线BC的解析式(2)设点P为该抛物线上的一个动点,以点P为圆心、r为半径作P当点P运动到点D时,若P与直线BC相交,求r的取值范围;若r,是否存在点P使P与直线BC相切,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由6解:(1)当x0时,y3,点C的坐标为(0,3)1分当y0时,x 2x30,x2或x6结合图形可得点A、B的坐标分别为(2,0)、(6,0)2分设直线BC的解析式为ykxb,将点B、C的坐标代入yxODCABEFlG得 解得直线BC的解析式为yx3 4分(2)过点D作DGBC于点Gyx 2x3
12、(x2)24抛物线的顶点D的坐标为(2,4),对称轴x2点E是对称轴l与直线BC的交点,点E的横坐标为2点E的纵坐标为y232,即EF2,DE2 6分在RtEFB中,BF4,BEDGEBFE90,DEGBEF,DEGBEF,即,DG故当r时,P与直线BC相交 8分假设存在点P使P与直线BC相切)若点P在直线BC的上方,设P与BC相切于点Q,连结PQ则PQBC,PQr过点P作PMx轴于点M,交BC于点N则PQNBMNBFE90,又PNQBNMBEF,PQNBEF,即,PN2设点P的坐标为(xP ,yP),点N的坐标为(xN ,yN)PNx轴,xN xP,yPyN PN2xP2xP3(xP3)2,解得xP 2或xP 4当xP 2时,yP 4;当xP 4