恒成立问题高三数学复习中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用因此也成为历年高考的一个热点恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象一、 一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有nmoxynmoxy例1、 对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.二、 二次函数型若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例2、 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=4（a-1)(a+2)<0时，即-20.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根 即解得a-8.解法2（利用根与系数的分布知识）：即要求t2+(4+a)t=0有正根设f(x)= t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）2-16=0,∴a=0或a=-8.a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=-2<0，不合题意；a=-8时，f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合题意。
∴a=-8.4oxy20. >0,即a<-8或a>0时，∵f(0)=4>0,故只需对称轴，即a<-4.∴a<-8综合可得a-8.三、 变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解例4、 已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴-a+5>3即>a+2上式等价于或解得a<8.注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型另解：a+cos2x<5-4sinx+即a+1-2sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,则t[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+>0,( t[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1, f(x)在[-1，1]内单调递减 只需f(1)>0,即>a-2.(下同)四、 直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷例5、当x(1,2)时，不等式(x-1)21,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值故loga2>1,a>1,10,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。
xyl1l2l-20o解：令y1= x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=∴a的范围为[，]针对性练习例1、 设，，当时，恒成立，求的取值范围分析：方法一：当时，恒成立，即当时，恒成立而在上的最小值是由知或得方法二：当时，恒成立，即当时，恒成立即当时，恒成立的充要条件是① ②综合起来，得方法三：当时，恒成立，即当时，恒成立即当时，恒成立，分三种情况讨论评注：本例适宜用二次函数的最值来处理，不宜用参变量分离例2、 已知函数对任意实数都有，（1）若为自然数，试求的表达式；（2）若为自然数,且时，恒成立，求的最大值解（1），（2）由题意，当，时恒成立当，时恒成立当，时恒成立记，，函数，的图象表示在上的一条射线， 所以要使问题恒成立，只要 ,评注：本例不适宜用三次函数的最值来处理，宜用参变量分离。
例3、函数若对任意，恒成立，求实数的取值范围分析：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得方法一：考虑抛物线在的最小值得方法二：考虑参数分离只需在时恒成立, 考虑定抛物线在的最大值，得评注：本例只要适当挖掘隐含条件，无论是用二次函数的最值来处理，还是用参变量分离来处理均可例4、已知在区间上是增函数（1）求实数的值组成的集合；（2）设关于的方程的两个非零实根为试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由分析：（1）由在区间上是增函数得在恒成立，即在恒成立，所以 ①在恒成立令 式①成立的充要条件是 解得（2）由得，由，又记 ，，问题转化为，对任意恒成立记，，函数，图象表示在上的一条线段， 要使问题恒成立，只要，得解或。