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1、- 1 -八年级数学最短路径问题八年级数学最短路径问题【问题概述】【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】【问题原型】“将军饮马” ， “造桥选址” ， “费马点” 【涉及知识】【涉及知识】“两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ，
2、 “三角形三边关系” ， “轴对称” ， “平移” 【出题背景】【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】【解题思路】找对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题十二个基本问题】【问题【问题 1】作法作法图形图形原理原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小连 AB，与 l 交点即为 P两点之间线段最短PA+PB 最小值为 AB【问题【问题 2】 “将军饮马”“将军饮马”作法作法图形图形原理原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小作B关于l的对称点B连A B，与 l 交点即为 P两点之间线段最
3、短PA+PB 最小值为 A B【问题【问题 3】作法作法图形图形原理原理在直线、上分别求点1l2lM、N，使PMN 的周长最小分别作点 P 关于两直线的对称点P和 P ，连PP ，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短PM+MN+PN 的最小值为线段 P P 的长【问题【问题 4】作法作法图形图形原理原理在直线、上分别求点1l2lM、N，使四边形 PQMN的周长最小分别作点 Q 、P 关于直线、的对称点 Q和 P1l2l连 Q P ，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P P 的长【问题【问题 5】 “造桥选址”“造桥选址”作法作法图形图形原理原理l
4、ABlPBAlBAlPBABl1l2Pl1l2NMPPPl1l2NMPQQPl1l2PQ- 2 -直线，在、，mnmn上分别求点 M、 N， 使 MN，且 AM+MN+BN 的值m最小将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A， 连 A B， 交n于点 N，过 N 作 NMm于 M两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为A B+MN【问题【问题 6】作法作法图形图形原理原理在直线 上求两点 M、Nl（M 在左） ，使，aMN 并使 AM+MN+NB 的值最小将点 A 向右平移个长度a单位得 A，作 A关于l的对称点 A ， 连 A B，交直线 于点 N，将 N 点向l左平移个单位得 Ma两
5、点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为A B+MN【问题【问题 7】作法作法图形图形原理原理在上求点 A，在上求1l2l点 B，使 PA+AB 值最小作点 P 关于的对称点1lP，作 P B 于 B，交2l于 A2l点到直线，垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长【问题【问题 8】作法作法图形图形原理原理A 为上一定点，B 为1l2l上一定点， 在上求点 M，2l在上 求 点N， 使1lAM+MN+NB 的值最小作点 A 关于的对称点2lA，作点 B 关于的对1l称点 B，连 AB交2l于 M，交于 N1l两点之间线段最短AM+MN+NB 的最小值为线段 A B 的长【问题【问题 9】
6、作法作法图形图形原理原理在直线 l 上求一点 P，使的值最小最小PBPA连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0PBPAmnMNABAlaABMNmnABMNlAABAMNl1l2ABPPl1l2Pl2l1ABNMl2l1MNABABlBAlPBA- 3 -【问题【问题 10】作法作法图形图形原理原理在直线 l 上求一点 P，使的值最大最大PBPA作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边ABPBPA的最大值ABPBPA【问题【问题 11】作法作法图形图形原理原理在直线 l 上求一点 P，使的值最大最大PBPA作B关
7、于l的对称点B作直线 A B， 与 l 交点即为P三角形任意两边之差小于第三边PBPAAB最大值ABPBPA【问题【问题 12】 “费马点”“费马点”作法作法图形图形原理原理ABC 中每一内角都小于120， 在ABC 内求一点P， 使 PA+PB+PC 值最小所求点为“费马点” ，即满足APBBPCAPC120以 AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连 CD、BE 相交于 P，点 P 即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC 最小值CD一、求最值常用的知识点：1.两点之间线段最短。 2.垂线段最短。1.两点之间线段最短。 2.垂线段最短。3.斜边大于角边。4.三角形任两边之和大于第三边。3
8、.斜边大于角边。4.三角形任两边之和大于第三边。二、线段最值常用的方法：（一）作对称点（一）作对称点例 ： 如图，菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，E 是 AB 的中点，P是对角线 AC 上的一个动点， 求 PE+PB 的最小值。练习: 练习: 1如图，在锐角ABC 中，AB4 ，BAC45，BAC的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN的最小值是_。 lBAlPABlABlBPABABCPEDCBAD DA AC CB BE EP P- 4 -2 如图，菱形 ABCD 中，AB=4，A=120，点 M、N、P 分别为线段 AB、AD、BD
9、 上的任意一点，求 PM+PN 的最小值。3 3如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE1，AF2，若 P 为对角线 BD 上一动点，求 EPFP 的最小值4 4如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，AD1，ADC60，将平行四边形 ABCD 沿过点 A的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D处，折痕交 CD 边于点 E.(1)求证：四边形 BCED是菱形；(2)若点 P 是直线 l 上的一个动点，请计算 PDPB 的最小值5 5如图，在矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，求 BM+MN 的最小值。6- 5 -（二）找中点，
10、找不变线段。（二）找中点，找不变线段。例：如图,ACB=90,BC=8,AC=6,点 P 为 AC 上一动点,连 BP,CMBP,求 AM 的最小值。练习：如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点 O 的最大距离为（ ）A B C. 2 D.3 （三）构造全等三角形（三）构造全等三角形例：例：- 6 -练习： 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM
11、绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM，AMBENB。求证：（1）当 M 点在何处时，AMCM 的值最小。当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由。 （2）当 AMBMCM 的最小值为3+1 时，求正方形的边长。 补充练习补充练习1如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，若将ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD分别与 BC、CD交于点 E、F，则CEF 的周长的最小值为（ ）A2B32CD4323.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P，Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则DQPQ 的最小值是_
12、- 7 - 4如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D2 32 665 5如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E 在 AB 边上，且 BE1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，求四边形 AEPQ 的周长的最小值为1四边形 ABCD 中，BD90，C70，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时，AMN+ANM 的度数为（ ）A120 B130 C110 D1402 2如图，在 RtABC 中，C90，BC3，AC4，M 为斜边 AB 上一动点，过点 M 作 MDAC 于点 D，过点 M 作 MECB 于点 E，求线段 DE 的最小值ADEPBCCADBMN- 8 -
