《北师大六年级同步奥数培优》

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1、专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑第一讲 圆的周长与面积（一）【知识概述】 圆是由曲线围成的平面图形。在日常生活和学习中我们经常会遇到与圆的周长和面积有关的问题。圆的周长除以它的直径的商是一个固定不变的数，这个结果被称为“圆周率” 。圆周率是一个无限不循环的小数，用字母“”表示，圆的周长=圆周率 x 直径，即 C=d 或 C=2r。圆的面积等于圆周率与半径平方的乘积，即 S=。2r下图圆的阴影部分是一个扇形，它的面积是一个圆的面积的四分之一，它的周长是圆周长的四分之一再加上两条半径的长。【例题精学】例 1：把 4 个啤酒瓶扎在一起 （如图所示） 捆 4 圈至少用绳子多少厘米？ (接头部分

2、用去 15厘米）思路点拨：用绳子捆 4 圈的长度就是指周长的 4 倍。这个图形的周长可分为两类：线段的长度和弧的长度。而这四条弧正好可以拼成一个圆，每条线段的长正好是圆的直径的长。所以绳子捆 1 圈的长度就是图中一个圆的周长加上 4 条直径的长度之和。 【同步精炼】1、计算下雨中阴影部分的周长。 （单位：厘米）专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑2、一个街心花园如下图的形状,中间正方形的边长是 20 米,四周为半圆 形,这个街心花园的周长是多少米? 3、在学校 200 米的跑道中,每条跑道宽 1.2 米.由于有弯道,为了公平,外道和内道选手的起跑线不在同一地点.如：A 点处是小明的起跑线,

3、B 是小强的起跑线,AB 两点的距离是?例 2：如下图，从点 A 到点 B 沿着大圆走和沿着中,小圆周走的路程相同吗?思路点拨：从点 A 到点 B 有两种走法：第一种是大圆的周长的一半；第二种是由 A 到 C的中圆周长的一半与 C 到 B 的小圆周长的一半的和。设小圆的直径为 a，中原的直径为 b，则大圆的直径为 a+b。那么第一种走法的路程为 C1=a 2+b 2；第二种走法的路程为C2=a 2+b 2，所以 C1=C2. 【同步精炼】1、下图中，从 A 点到 B 点沿着大圆周走和沿着小圆周走，路程相同吗？专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑2、已知 AB=50cm，求圆中各圆的周长总和

4、。3、已知一个大圆中紧紧的排列着三个半径不同的小圆（如图） ， 并且这四个圆的圆心恰好在同一条直线上。如果大圆的周长是 30cm，那么三个小圆的周长之和是多少？例 3：将半径分别是 3 厘米和 2 厘米的两个半圆按下图形状放置，求阴影部分的周长。思路点拨：阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长，再加上两条线段的长。 两个半圆的弧长是 223.142+233.142=15.7（厘米） 两条线段的长是 3+（22-3）=4（厘米）这样就求出阴影部分的周长了。【同步精炼】1、一个半圆的周长是 20.56 厘米，这个半圆的直径是多少厘米？2、以 B 与 C 为圆心的两个半圆的直径都是 4 分米，

5、求阴影部分的周长。3、下图中圆的面积等于长方形的面积， 已知圆的周长是 36 厘米， 那么图中的阴影部分的周长是多少厘米？专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑例 3：下图是由正方形和半圆组成的图形，其中 P 点为半圆的中点，Q 点为正方形一边上的中点，那么阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）思路点拨：求阴影部分的面积最常用的方法叫做“排空法” 。所谓排空法就是指用图形外围的面积减去空白部分的面积就是阴影部分的面积。 此题中图形外围的面积应该是正方形和半圆面积之和，比较好求。空白部分是个不规则的四边形，我们可以用分割的方法把它分成几块基本图形再求面积。连接 BP，则图中阴影部分面积可以用正方

6、形与半圆面积的和减去三角形 ABP 与三角形BPQ的面积之和。【同步精炼】1、下图小半圆的半径为 4 厘米，求阴影部分的面积。2、下图中三角形的面积是 12 平方厘米，求阴影部分的面积。专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑第二讲 圆的周长与面积（二）【知识概述】 在上一讲中，我们知道了求阴影部分面积常用的方法是“排空法” 。除此之外，还经常用到“二次求差法” 、 “平移旋转法” 。所谓“二次求差法”就是利用“排空法”求图中阴影部分的面积，而空白部分的面积也要通过两个图形面积相减求得。有些不规律的组合图形（或阴影部分）的面积计算，无法直接或较难直接求得，但是通过将这些图形分割，或将这些图形平

7、移、旋转后重新组成一个面积大小不变的新图形，这时面积很容易求得。这种方法就是“平移旋转法” 。【例题精学】例 1：在长方形 ABCD 中，AB=6 厘米，BC=4 厘米，扇形 ABE 的半径 AE=6 厘米，扇形CBF 的半径 CF=4 厘米，求图中阴影部分的面积。思路点拨：观察图形，不难看出图中的阴影部分面积可以用扇形 ABE 的面积减去空白部分 ABFD 的面积，而空白部分 ABFD 的面积又可以用长方形 ABCD 的面积减去扇形 BCF 的面积，这就是“二次求差法”的利用。【同步精炼】1、 如下图，扇形 AFB 恰为一个圆的四分之一，BCDE 是正方形，AFBG 是正方形，则图中阴影部分

8、的面积是多少？（单位：厘米）2、 求下图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑3、 下图正方形的边长是 4 厘米，求阴影部分的面积。例 2：如下图，OA,OB 分别是小半圆的直径，且 OA=OB=6 厘米，BOA=90，阴影部分的面积是多少平方厘米？思路点拨 ：连接 AB 与 CO(如右图)，经过观察可以发现 ： 阴影部分 a 的面积与空白部分 b 的面积相等，阴影部分 c 的面积与空白面积 d 的面积相等。这样 a 和 c 就可以移至 b 和 d 的位置。原图的阴影部分的面积就可以转化为三角形 ABO 的面积。【同步精炼】1、求下图中阴影部分的面积。 （单

9、位：厘米）2、2、求下图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）3、如下图，半径分别为 2,3,4 厘米的同心圆被八等分，求阴影部分的面积。专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑例 3：已知正方形的边长为 10 厘米，以两条边长为直径作两个半圆（如下图） ，求阴影部分的面积。思路点拨：有些学生面临这道题时可能会想到“排空法” ，即用正方形的面积减去空白部分的面积，但解题时就会发现求空白部分的面积是比较麻烦的。我们利用正方形的对称性连接正方形的对角线，把其中一块阴影部分分割成和两个部分。 （如下图） 而可以逆时针旋转 90移至处，顺时针旋转 90移至处。这样，通过分割和旋转的方法，可以把原图中的阴影

10、部分拼成一个三角形，再求这个三角形的面积就简单多了。【同步精炼】1、求下图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）2、求下图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）3、求下图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑例 4：下图中两块阴影部分的面积相等，三角形 ABC 是直角三角形，BC 是直径，长 40厘米，求 AB 的长度。思路点拨：由图中两块阴影部分的面积相等可知：三角形 ABC 的面积=阴影部分面积（）+空白部分面积（） ； 半圆的面积=阴影部分面积（）+空白部分面积（） 。这说明三角形 ABC 的面积等于半圆的面积。 求出半圆的面积也就知道了三角形 ABC 的面积

11、。 再根据 “高=三角形面积2底”就可以求出 AB 的长了。【同步精炼】1、下图中三角形 ABC 是直角三角形，阴影（）比阴影（）的面积小 23 平方米，BC的长度是多少米？2、在下图中，直角三角形 ABC 的直角边 AB 是圆的直径，且 AB=20 厘米，如果阴影（）比阴影（）的面积大 7 厘米，求 BC 的长。3、在下图中，长方形的宽为 1 厘米，以 B 点喝 C 点为圆心，以宽为半径的扇形相较于点G，形成两个阴影部分。已知两个阴影部分的面积相等，求长方形的长。专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑第三讲 分数混合运算【知识概述】 在进行分数计算时，不仅要熟练地掌握四则运算的法则和运算定

12、律，而且还常常要根据算式中数的特点和算式结构，运用一些运算技巧，灵活选择计算方法，使一些较复杂的分数计算化难为易、化繁为简。【例题精学】例 1： (1) 17 (2) 28 33322713思路点拨：观察这两道题中数的特点，第(1)中的比 1 少，把写成 1 减的差33323313332331与 17 相乘，在运用乘法分配律使计算简便；同样，第(2) 中的 28与中的分母相差 1，2713把 28 分成 27 加 1 的和与相乘，在运用乘法分配律使计算简便。2713【同步精炼】1、19 2、 36 242335113、126 4、 8 2531514例 2： 19981998 19991998

13、思路点拨：这道题先把带分数化成假分数：1998 ，先不要急199919981999199819991998专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑着算出分子，观察数的特点，再去除199919981999199819991)(199919981999000219981998 算出最后结果。【同步精炼】1、 238238 2、 1999199923923820001999例 3： 120001999199800021999思路点拨：仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子 1999+20001998=1999+2000（19991）=1999+200019992000=200019991

14、，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果为 1. 【同步精炼】1、 2、 186548362361548362119891988198719891988例 3： +211321431541651思路点拨：在这道题中，每个分数的分子都是 1，分母是两个连续自然数的积。 =1， =， =， =， =，211213212131431314154141516515161=) 1(1 nnn1) 1(1n 把每个分数都写成两个分数的差，使部分分数相互抵消，使计算简便。【同步精炼】1、+ 3、1+2113214311009912161121201301421561721专业资料 WORD 完美格式

15、下载可编辑+9012、+2161121201301第四讲 分数混合运算 稍复杂的分数应用题【知识概述】 有些稍微复杂的分数应用题中的两个或两个以上单位“1”的量，这时一般先用转换法统一单位“1” ，有时还要根据解题需要，把分率转化成比，然后才能进行解答。【例题精学】例 1：甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，结果甲捐了另外三人总数的一半，乙捐了另外三人总数的，丙捐了另外三人总数的，丁捐了 91 元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少3141元？思路点拨：根据题意可知，甲、乙、丙、丁四人捐款的总数是一定的，把四人的总数看成单位“1” 。 “甲捐了另外三人总数的一半” ，则甲的捐款是四人捐款总数的，同理，

16、乙的211捐款是四人捐款总数的，而丙的捐款是四人捐款总数的。那么我们就可以求出丁捐311411的 91 元所对应的分率，在求出四人的捐款总数。专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑【同步精炼】1、甲、乙、丙、丁四个数，甲数是其他三个数之和的，乙数是其他三个数之和的，2131丙数是其他三个数之和的，已知丁数是 260，则四个数的和是多少？甲数是多少？412、三个小朋友合买一枚价值 24 元的 2012 年奥运会纪念章，第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的一半，第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的。问：第三个孩子付31了多少元？3、学校有数学、气象、航模三个兴趣小组，其中数学小组的人数是其他两组人数的，21气象小组的人数是其他两组人数的，航模小组比数学小组少 3 人。三个小组共有多34少人？专业资料 WORD 完美格式 下载可编辑例 2：乙队原有的人数是甲队的。现在甲队派 30 人到乙队，则乙队人数是甲队的。原7332来两队一共有多少人？思路点拨：当“甲队派 30 人到乙队” 后，甲、乙两队的人数都发生了变化，但是两队的总人数没有变化，因此我们把甲、乙两队的总人数看成单位“1” 。