《《北师大网络教育数值分析期末试卷含答案》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《北师大网络教育数值分析期末试卷含答案》（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 1 页）北师大网络教育数值分析期末考试卷与答案一填空题（本大题共一填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分）1.设有节点，其对应的函数的值分别为，则二次拉012,x x x yf x012,yy y格朗日插值基函数为 。 0( )l x2.设， 则关 于 节 点的 二 阶 向 前 差 分 2f xx f x0120,1,3xxx为 。3.设，则 ， 。110111011A 233x
2、 1A1x4. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。1n二简答题（本大题共二简答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？满足什么条件才能保证不动点存在和不动点 x迭代序列收敛于的不动点？ x3. 设 n 阶矩阵 A 具有 n 个特征值且满足，请简单说123n明求解矩阵 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。三三求一个次数不高于 3 的多项式，满足下列插值条件： 3P xix123iy2412iy3并估计误差。 （10 分）（10 分）四四试用的牛顿-科特斯求积公式计算
3、定积分。 （10 分）（10 分）1,2,4n 1011Idxx五五用 Newton 法求的近似解。 （10 分）（10 分）( )cos0f xxx六六试用 Doolittle 分解法求解方程组：注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 2 页） （10 分）（10 分）12325610413191963630 xxx七七请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并123123123202324812231530 xxxxxxxxx判断其是否收敛？（10
4、 分）10 分）八八就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。 （10 分）（10 分）0(0)yyyy 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 3 页）数值分析（数值分析（A）卷标准答案）卷标准答案 一填空题（每小题 3 分，共 12 分）一填空题（每小题 3 分，共 12 分）1.； 2.7；3. 3，8；4. 。 1200102()()()()xxxxlxxxxx2n+1二简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）二简答题（本大题共 3 小题
5、，每小题 8 分，共 24 分）1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4 分）对于对称正定阵 A，从可知对任意k i 有。即 L 的元素不会21iiiikkal|ikiila增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4 分）2. 解：（1）若，则称为函数的不动点。 （2 分） *xx*x x（2）必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 x的不动点： x1）是在其定义域内是连续函数； （2 分） x2）的值域是定义域的子集； （2 分） x3）在其定义域内满足李普希兹条件。 （2 分） x3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8 分）步 1：输入矩阵 A，
6、初始向量 v0，误差限，最大迭代次数 N;步 2：置 k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步 3：计算 vk=Auk-1;步 4：计算并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步 5：若|mk- | ，计算，输出 mk,uk；否则，转 6；步 6：若 kN,置 k:=k+1, :=mk，转 3；否则输出计算失败 信息，停止三 三 解：（1）利用插值法加待定系数法： 设满足 则（3 分） 2px 22212,24,312,ppp 22376,pxxx 再设 （3 分） 32123pxpxK xxx （1分）2K 1max;kkrii nvv 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不
7、得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 4 页） （1分） 32329156pxxxx（2） （2 分） 24311234!Rxfxxx四四解：应用梯形公式得 （2 分） 11012IIff （1 分）0.75 应用辛普森公式得： （2 分） 21104162IIfff （1 分）0.69444444 应用科特斯公式得： （2 分） 41113703212327190424IIfffff （2分）0.6931746五五解：由零点定理，在内有根。 （2 分）cos0 xx(0,)2由牛顿迭代格式 （4 分）
8、 1cos0,1,.1 sinnnnnnxxxxnx取得，04x （3 分）12340.73936133;0.7390851780.7390851330.739085133xxxx故取 （1 分） *40.739085133xx六六解：对系数矩阵做三角分解： （2 分）11121321222331323325610041319106361uuuluullu （4分）125621373414ALU若，则； （2 分）Lyb12310,1,4yyy 若，则 （2 分）Uxy(3,2,1)Tx 。七七解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题
9、纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 5 页） （2 分）00.50.51010.50.50B 其特征多项式为，且特征值为2det()1.25IB （2 分）1230,1.25 ,1.25ii 故有，因而雅可比迭代法不收敛。 （1 分） 1.251B（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 （2 分）00.50.500.50.5000.5B其特征值为 （2 分）1230,0.5故有，因而雅可比迭代法收敛。 （1 分） 0.51B八证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）八证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）1. 证：1. 证：该问题的精确解为 （2 分）0( )xy xy e欧拉公式为 （2 分）1(1)iiiiyyhyh y对任意固定的，ixxih有， （2 分）/1/00(1)(1)iix hxhiyyhyh则 （1 分）0( )ixiy ey x2.证：2.证：牛顿迭代格式为 （3 分）125,0,1,2,66nnnxaxnx因迭代函数为而又， （2 分） 25,66xaxx 35,63axx*3xa则。333510623aaa故此迭代格式是线性收敛的。 （2 分）
