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1、习题一1. 解 (1) 设学生数为，则(2) 枚骰子点数之和为 (3) 三只求放入三只不同A，B，C盒子，每只盒子中有一个球的情况有其中表示A盒子放入的球为，B盒子放入的球为，C盒子放入的球为，其余类似(4) 三只求放入三只不同A，B，C盒子情况有其中表示A盒子没有放入球，B盒子放入的球为，C盒子没有放入球，其余类似，共个样本点(5) 汽车通过某一定点的速度设为(6) 将一尺长的棍折成三段，各段的长度为(7) 对产品检验四个产品，连续检验到两个产品为不合格品是，需停止检验，检验的结果为其中表示第一次取到不合格品，第二次取到合格品，第三次取到不合格品，第四次取到不合格品，其余类似2. 解 (1)
2、 一只口袋中装有编号为1，2，3，4，5的五只球，任取三只，最小的号码为1的样本点有其中表示取出的球为编号为1，2，3的球(无顺序)(2) 抛一枚硬币两次，=“第一次出现正面”的样本点有，其中表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似=“两次出现不同的面”的样本点有，其中表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似=“至少出现一次正面”的样本点有，其中表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似(3) 检验一只灯泡的寿命，其寿命为不小于500小时，=“灯泡寿命不小于500小时”的样本点有(4) 某电话交换台在一分钟内接到的呼唤次数不大于10， =“某电话交换台在一分钟内接到的呼唤次数不大于10”的
3、样本点有(5) 重复抛掷一枚硬币，当出现正面时停止， =“抛了偶数次时首次出现正面”的样本点有，其中表示第一次出现反面，第二次出现正面3. 解 (1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ; (6) .4. 解 (1) 选到的是1980年或1980年以前出版的中文版数学书；(2) 该馆中凡是1980年或1980年以前出版的书都是中文版的；(3) 馆中所有数学书都是1980年以后出版的中文版书；(4) 是5. 解 包含事件的最小事件域是6. 证明 (1) 对任意的即，等价于，即；对任意的即，等价于，即；即 (2) 对任意的即，等价于，即；对任意的即，等价于，即；即 (3) 由于，所以，所以(
4、4) 对任意的即存在，等价于，即：，即 ；对任意的即存在，等价于，即：，即 ；即 (5) 与(4)证明相似(6) 显然互不相容显然；对任意的即或者，分为(a)，显然成立；(b), 显然成立；(c) ,显然成立.7. 解 (1) 设 ，其中，显然互不相容(2) 两个事件互不相容是指，而相互对立是指，所以互不相容并不一定相互对立；反过来两个事件相互对立一定能够说明互不相容(3) 对任意的即存在，所以；反之对任意的即存在，且所以；即对于无穷的形式类似可得8. 解 设抽出的三球顺序为黑白黑为，(1) 放回抽样 中的元素个数为，中的元素个数为，所以 ；(2) 不放回抽样 中的元素个数为，中的元素个数为，
5、所以 9. 解 设其中相互指定的三本书放在一起，中的元素个数为，中的元素个数为，所以10. 解 设其中两名种子选手被分在不同队为，中的元素个数为，中的元素个数为，所以11. 解 设四张A全部集中在一个人手中为，中的元素个数为，中的元素个数为，所以12. 解 设6双首套中选择4只恰有一双配对为，中的元素个数为，中的元素个数为，所以13. 解 设这个人任何两个人的生日都不在同一天为(1) 中的元素个数为，中的元素个数为，所以 ；(2) 时 14. 解 (1) 设选出的号码为严格上升为，中的元素个数为，中的元素个数为，所以 ；(2) 设选出的号码为单调升为，中的元素个数为，中的元素个数为，所以 15
6、. 证明 原式等价于 构造概率模型： 一口袋中中有个红球，个黑球，为第次首次抽到红球， 则其中 即16. 解 解法不对，由于每一个样本点等可能发生实际是指每一枚骰子出现任何一种可能是等可能的，而不是和出现的结果是等可能的正确解法为 设为点数和为6为，为第一枚骰子出现点数为，第二枚骰子点数为，则，中的元素个数为，中的元素个数为，所以 17. 解 设平行弦距圆心的距离为，设弦长度大于为，则，18. 解 设正常信号到达时间为为，干扰信号到达时间为，设系统受到干扰为，则，19. 解 设甲船到达时间为为，乙船到达时间为，设有一船要在码头外等到为，则，20解 设切取的第一段长度为，切取的第二段长度为，切取
7、的第三段长度为，设三段能够形成以一个三角形为，则，则 21. 解 设硬币的圆心落在某一个正方形中，以正方形的中心建立直角坐标系，由于是对称的，硬币的圆心不妨设落在第一象限内；设正方形的边长为，设硬币与正方形不相交为，则，则，解得22. 证明 (1) 由棣莫根定理有： ,; (2) 由于 ,显然两两互不相容，；(3) 显然有 不妨设当时成立有 ，当时成立有 24. 解 (1) 由于 所以有 ,即 ；由于 所以有,由于即 ；(2) 由于,，；25. 解 设订购报纸分别A,B,C为事件订购A) ;订购AB) ;订购B) ;订购C) ;订购一种报纸的）=订购A)+订购B)+订购C) ；恰好订购两种报纸
8、的）=订购AB)+订购BC)+订购AC) ;至少订阅一种）=订购一种)+订购两种)+订购三种) 26. 解 设为任何一人都为拿到自己原来的卡片；设为第个人拿到自己原来的卡片，由于，且，；，；，；所以（由的幂级数的展开式得到）27. 解 设每分钟到达的呼叫次数为，则服从参数为的泊松分布；28. 解 由于 ，29. 解 设三个孩子的家庭有一个女孩为， 至少有一个男孩为, ，所以30. 解 设表示第次取到合格品，第三次才取到合格平 .31. 解 设表示第次打开房门，第次才取到合格平 32. 解 设种子等级为等分别为；种子能够长成优良小麦为，由全概率公式得到33. 解 设第一次取出没有用过的球数为为，
9、；第二次取出的三个全为没有用过的球为，由全概率公式得到 34. 解 设第一次从甲口袋中取出的白球数为为，；第二次取出的两个球为白球为，由全概率公式得到35解 设任取的一个产品为不合格品为，产品是来自于机器生产的A,B,C分别为，由全概率公式有 由贝叶斯公式得到 ； ； ；本题的结果可以发现由于已经知道产生的是不合格品在分担责任时，由于各个机器产生不合格品的概率不同，生产的产量不同均会影响各个机器的不合格品的概率不同36解 设接收的信号为“”为，发出的信号为“”为， 由贝叶斯公式得到 ；其余类似37. 证明 (1) 由于 ，所以 .(2) 由于相互独立，所以 ； ；(3) 对任意的事件有 ，所以
10、；(4) 对任意的事件有 ,由 (3)知与任何相互独立，所以与任何相互独立 (5) 38. 证明 (1) 不妨设相互独立，则有，但矛盾所以不相互独立.(2) 原命题与逆否命题等价，所以显然39. 解 设为第台机器不需要工人照看，；为最多有一台机器需要照看， .40. 解 设为甲、乙、丙三人击中飞机，；为飞机击落， .41. 解 设为从100件中有4件音色不纯的乐器中取到3件音色不纯件数，为乐器通过测试为，42. 解 设为第续电器节点闭合，；为为L与R是通路，43. 解 (1) 四次试验中至少发生一次事件为，解得 ； (2) 次试验中至少发生一次事件为，解得同理解得44. 解 设为4次中A发生的
11、次数为 ， 45. 解 设甲投中的球数为，乙投中的球数为， ；.46.解 设单片元件毁坏的数目为服从二项分布，由泊松定理有近似服从泊松分布，所以47解 设指定的一页上错字数为，则服从二项分布，由泊松定理有近似服从泊松分布，所以48. 解 设产出的卵数为，孵出的有幼虫数为，对任意的有 即孵出的幼虫数服从参数为的泊松分布习题二1. 解 ,分布列为X345P分布函数为2. 解 分布列分别为X4020Y3010P1/21/2P1/21/2分布函数为 3解 定义（注意可以定义不同的随机变量取值，分布函数不同）X012P5/101/104/10分布函数为 4. 解 1）不放回抽取,X012P7/157/1
12、51/152）放回抽取， X0123P5. 解 由于跳跃点的概率 同理得到，X-5-202P1/51/102/101/26解 1）有概率分布列的规范性得到解得2）的分布列为Y-1015P1/41/41/27. 解 ，,.8. 解 由于分布函数是右连续的, .所以(本题也可以利用分布密度函数的规范性的条件得到)9. 解 由规范性得到， ，解得 ，分布函数， 由 解得.10. 解 由规范性得到，得到 .11. 解 1) 不能,由于不是单调不减；2) 不能,由于不是单调不减；3) 能,其他场合定义12. 解 1) 是连续型随机变量，2) 不是，由于连续型随机变量取值与一点的概率为0，而13. 解 由规范性得到，
