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1、微分几何一、判断题1、两个向量函数之和的极限等丁极限的和（V）2、二阶微分方程A（u,v）du2+2B（u,v）dudv+B（u,v）dv2=0总表示曲面上两族曲线.（x）3、右r（t）和s（t）均在a,b姓续，则他们的和也在该区间连续（V）4、向量函数命具有固定长的充要条件是对丁t的每一个值，TT一s（t）的微冏与s（t）平行（X）5、等距变换一定是保角变换.（）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（*）7、常向量的微商不等丁零（X）8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1,0,0）的切线为X=Y=Z（x）9、对丁曲线s=s（t）上一点（t=t），若其微商是零，
2、则这一点为曲线的正常点（x）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（V）11、曲线的法面垂直丁过切点的切线（V）12、单位切向量的模是1（/）13、每一个保角变换一定是等距变换（x）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0，这里F是第一基本量.（寸）二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t在点（1,0,0）的法平面是y+z=0,设给出c曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面杜邦指标线的方程为Lx2*2Mxy,Ny2=129、已知曲面P=(ucosv,usinv,6v
3、,u0,0壬v兰，则它的第一基本形式类曲线：r=r(t),a,b.则其弧长可表示为jjr、t)dt19、已知,3.3-二E1r=cosx,sinx,cos2x),0x,-jxx,(sinx,cosx,0，寸=】4cosx,4sinx,3,w=,e=1517。20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。21、旋转面r=(甲(t)cos8,(t)sin6,甲(t),他的坐标网是否为正交的?M(填“是”或“不是”).22、过点平行丁法方向的直线叫做曲面在该点的线线.23. 任何两个向量p,q的数量积pq=p|qcos(pq)保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距(保
4、长)变换.24. 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数数(填“常数”或“非常数”).25. 若曲线(c)用自然参数表示r=r(t),则曲线(c)ftP(s)点的密切平面的方程是处沿方向du:dv=2的法曲66,。3737(R-r(s。),r(so),r(so)M30、(Cohn-Voeeen定理)两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R3中的合同或对称。32. 31、球面上正规闭曲线的全挠率等丁零一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题求曲线x=tsint,y=tcost,z=tet在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：r=tsint,tcost,tet,
5、r(t)=sinttcost,costsint,ettet,r(t)=2cost-tsint,-2sint-tcost,2ette?在原点处t=0r(0)=0,0,0,r(0)=0,1,1,r(0)=2,0,2.在原点处切平面的方程为：(R-r(0),r(0),r(0)=0即XY-Z=0法平面的方程为：即YZ=0切线方程为XY(R-r(0)r(0)=0R-r(0)=-r(0)Z01134、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。解设r=u,v,u3v3则ru=1,0,3u,0=01,3v_=J44m-3u?,3vl|rurv|9u49v41ruu=0,0,6u,Hv=0，rvv=。,。，一6v,m6u
6、5mczm.-6vL=nR=-4,M=n%=。,N=n%=l_44.9u49v41.9u49v41因渐近曲线的微分方程为Ldu2-2MdudvNdv2=0即udu2=vdv2或Tudu/vdv=0渐近曲线为u2=v3+G或(u)3=v；+C2求双曲抛物面r=a(u+v),b(u-v),2uv的第一基本形式解:r=a(uv),b(u-v),2uv,邕=a,b,2v,r=a,-b,2u.E=u.=a2b24v2,FR=a2-b24uv,G=rvrv=a2b24u2.2222_222222I=(ab4v)du2(a-b-4uv)dudv(ab4u)dv计算球面r=(Rcos&cos平,Rcossin
7、甲,Rsin)的第二基本形式解：r=RcosMos,Rcossin,Rsin,r=-Rcossin,Rcoicos,0,j=Rsincos，一Rsinsin,Rcos,由此得到222E=r.：r=Rcos,F=r,：；j-0,G=jr-R,_r_r2_、EG-F2ei-Rcossin-Rsincos=coscos,cossin,sin,乂由丁r=-Rcoscos*-Rcosgn*0,r-Rsinsin*Rsincos,0,r.-Rcoscos,Rcossin*Rsinu,所以L=r计n=-Rcos2(T),M=r小n=0,N=jn=-R,因而得到du2dv2n=-(Rcos2ud2Rdf)35
8、. 如果曲面的第一基本形式ds2=；u广2,计算第二类克力斯托费尔符(u2v2c)2解:因为E=22、2，(uvc)F=0,222(uvc)所以22一2(uvc)2u-4u所以Ev212z224(uvc)z223(uvc)=Gu22-2(uvc)2vz224(uvc)_Eu_-2u一2E一u2v2c,_Ev-2v-2E-22,uvc-Gu2ui1i122E刑=2uc驾21138、已知曲面的第一基本形式为I率。=0,-4v/22(uv2GGu2GGv2Gu-线的测地曲率guEvv-线的测地曲率gvc)3=Gv2v-2u-2v=v(du2+dv2),va0,求坐标曲线的测地曲Ev=12E.G2v.
9、v氏=039、问曲面上曲线r的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线r是测地线吗？为什么？曲面上的4du2r2ds2aduJ1,2)答：曲面上曲线r的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲线是测地线.事实上，设T:u=u(s)(i=1,2)，则的切向量为日=史tds1du2du211.1ij22-记,a=,Da=da-二.adu,Da=da、则曲线的切向量沿平行移动uD)=2uDa1=0,Da2=0i2kij40. Dadu、.kdudu仁福0w，*M胃云=(k=u为测地线求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.解:因为r=ucosv,usinv,bv,E=1,F=0,G=
10、u2b2,L=0,M：b,N=0.,、u2b2,由丁L=N=0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是r=u0cosv,u0sinv,bv,这是螺旋线，另一族渐近线是r=ucosv,usinv0,bv。,这是直线.41、设空间两条曲线r和c的曲率处处不为零，若曲线r和c可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和c在对应点的切线夹固定角.证设：h=r（s）,r：*=r*（s）,则由0/N*知=&,从而建昂=0,m=0,净办+右配；串=0dsds=constant,即cos（J,*）=C这表明曲线和C在对应点的切线夹固定角.42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是r(t)
11、r(t)=0证明:必要性设r(t)=t)e(e为常单位向量)，则r(t)=(t)e,所以r(t)r(t)=0充分性：r(t)=，t)e(t)(e(t)为单位向量函数),则r(t)=(t)e(t)(t)e(t),r(t)r(t)=2(t)e(t)e(t).因为r(t)#0,于是*t)#0,当r(t)*r(t)三0,从而有e(t)e=0,即e(t)/e(t)，因为e(t)_Le(t)(根据e(t)=1)，因此e(t)=0即e(t)为常向量，所以r(t)=(t)e(t)有固定方向43、给出曲面上一条曲率线，设：r上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求证是一条平面曲线.4o-Tnsdd证设
12、W：r=u,v),：u=u(s),v=v(s)，其中s是r的自然参数，记8=(7,布，则r*=cos8，两边求导，得一4:十由为曲率线知思混，即至四=私因此，n=r也一部也=0dsdsdsds若T=0,U为平面曲线；若n=0，则因为曲面上的一条曲率线，故dKndr.而=3翟土崩J=o,所以dn=0,即n为常向量.丁是为平面曲线.44、求圆柱螺线R(t)=acost,asint,bt在i=处的切线方程。3r(t)=acost,asint,bt,r(t)=-asint,acost,b,nJ3nb3尸项,；a,at=时，有r(：)=耳&,：切.3322所以切线的方程为nnPW,（3）即1-3.3,二
13、、，p=aqae2()be3223如果用坐标表示，则得切线方程为Xa2、3:Y-一aZ-一b2_32b2即2x-a2Y-3a-3aa45、求双曲螺线r=acosht,asinht,at从t=0起计算的弧长。力r=acosht,asinht,at,r=asinht,acosht,a从t=0起计算的弧长为GHr(t)|dt=x2+y2+z2dt=t./sint/costadt=o,a2(sinh211)a2cosh2tdt0，a2cosh2ta2cosh2tdt=-2asinht.46、求球面r=RcosHcos甲，Rcossin甲,Rsin8的第一基本形式。r=RcosHcos甲,RcosHsi
14、nB,Rsin0,可得出解：由g=Rcossin甲,Rcos6cos?,0,r.-Rsincos*Rsinsin:,Rcos,由此得到曲面的第一类基本量E=r：r=R2co&,F=r匚-0,2G=JJ-R因而I=R2cogud2R%/47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。证明设kik2(如果K1AK2,可以交换坐标u和v),由欧拉公式知kn=kicos2Bk2(1-cos2”=k2(ki-k?)cos2),丁是2.k2kn=(k2ki)cos=-0因此k2-kn同样乂可以得到kn-k=(k2k)si咨-0,由此k2knkikn一k2这就是说，主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为I=E(u)du2+G(u)dv2。求证：(1)u-曲线是测地线；v-曲线是测地线，当且仅当Gu(u)=0证明：u-曲线的方程为dv=0由sin-0,dsG得到sin=0所以-0代入刘维尔公式得kgduds1；:lnE2、G3cos1flnG2、E：:u=0,因此得到u-曲线是测地线。若曲线为测地线，由得则有1flnG0=00si1-E:u49、R3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明：因为(1) 空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；(2) 空间三个合同
