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1、数学准备知识.欠量定义rAA1矢量代数rrAA,A_(单位矢量)rrAyjAzkA.矢量运算rrrr加法：ABBArrrrrr(AB)CA(BC)交换律结合律rr3rAB(ABi)ei1满足平行四边形法则rr3标量积：ABABABcosi1矢量积:rrABrrA(BrrABrrBA交换律rrrrrC)ABAC分配律rrreq63rABsinenA1AA3BiB2B3混合积:33AB;)rBrcr(ArArcrBrA)rArArc/(rc)rBrBr(BrBrcrArAr(BrAh向狼弦：AzrArrrAxAycos，coscos,cosexcoseycoseAAAAr3rr在坐标系中AAei直
2、角系Ai1双重矢积：A(BC)(点3乘2,B(AC)点2乘3)C(AB)(AC)B(AB)CrrrrrrA(BC)(AB)C三.欠量微分dAA?dAAddtdtdtrrd(AB)dtrdBdtrdAdtrrd(AB)dtrdBdtrdArBdtrrBA),有九个分量。四.并欠与张量rrrr并矢：AB(一般AB若某个量有九个分量，它被称为张量33illrrrrTABAjBiej气的i,j1i,jrr、，、，.，eej为单位并矢，张量的九个基。矢量与张量的矩阵表示:rAe,AAiA2A3或A(AAA)rrABBi(Ai,A2,A3)B2B3100tA1B1A2B2A3B3ABii1rr单位张量：l
3、eiejl010001张量运算:ttTV(Tji,jrrrrr、，、rrVj)eejrrrrrrrABCABCACBACBrrrrrrCBACBArrrrrrBCABCA与矢量点乘:rrABrCrrrABC与矢重叉乘：rrrrrrCABCABrr两并矢点乘：AB两并矢二次点乘：与单位张量点乘：并矢并矢rrrrCDABrrrrAB:CDtrrtlCCltrrrrlABABtrrrrl:ABABrArArBrpcrcrArcrBtrBrDrrrrrrrCADCDAB(并矢)标量rrrrrrrrrrrrrrrCABCABBCABACBAC课堂练习（15-20分钟）rrrrrr1.计算ABAB2BAr
4、rrrrrrrrr2.求证,Mbacabc与矢量C垂直。（求MC）。3.计算下列各式：rrrrrrrrrrrra(ab)a(ba)(ji)k(ki)j2,rr,r,r、/八(0,aba(ab),1,1)4.证明下列各式：rrrrrrrrrrrr(1)(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc),、r,.rr、.，rr、r,r.r、-a(bc)br(ca)rc(尸b)0证：(i)(ac()d(b)a)(d禺潮b)rrrrrrrr(ca)(db)(cb)(da)rr,rrrrrr/，、a(abc)0)由(b)(acd)(ab),rr、,r,r,r、rJrrJrr(ac)b(ab)c(ba)c(
5、bc)arrrrrr(cb)a(ca)b02.场的概念和标量场的梯度一、场的概念：描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。描述场用一个空间中和时间坐标的函数：标量场（x,y,z,t）（x,t）rr矢重场A（x,y,z,t）A（x,t）r当，A与t无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时r变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如，A随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。二、标量场的梯度在M,
6、M两点全微分：ddxdydzxyz,r,r,r,rdldxexdyeydzezrrrrrdexey一ezdldlxyzr匕&（e业，dl方向上的单位矢量）dldli、，_.rcos（为与dl之间的夹角）在M点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即0,|,定义梯度graddlmax意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征。已知梯度即可求出沿任一方向的方向导致。r等值面：（x）常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度等值面。证：对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。即cos的为_，所以与等值面垂直。2欠量微分算子（直角坐标系中的表示形式）-3具有矢量性质，分量是微
7、分符号。xyz它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。xyzxyrArexAzAyreyAAzrezAyA0,场线进入的少，穿出得多，称S面内有源。=0,场线进入的与穿出得同样多，称S面内无源。0,有源；=0,无源，0,负rr源)。有时表示成divA(divergence)。若空间各点处处A0,则称A为无源场。例题：rrrr1.求r,其中rxxexyyeyzrxcrL3xrr22：2.求,rxxyyzzrrrxxyyzz3333rxryrzr33xx33xx4yy4rrrrrrr3.求证：AAA。r证：AAxAyAxyzAAyAzAxAyAxyzxyzrz2r12yy(r0)4斯托克斯公式与矢量
8、场的旋度一、欠量场的环量（环流）矢量A沿任一闭合曲线L的积分？lAdf0表明在区域内无涡旋状态，不闭合，具有局域性质。0表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在,二、斯托克斯公式（定理）rrrr?lAdl$AdS（证明略）三、欠量场的旋度当L无限缩小,它用的面积化为S时，rrrrrrr2AdlASAS,nAAnrrrA2AdllimrrsSn,n为法线上单位矢。nS0S定义rA为矢量场的旋度，它在S法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点rrA0,则A称为无旋场。rr例：1.3r解：它的x分量为yzzzz1
9、3yyzz3r3yr5ryy13yyzz3yy35zrzrrrr一3rx0,同理，rrpyrr0z2.证明rArArA证：rAxAzyzAyAzAZAyAyyzzrAxAzyAyzrAxrAxrrrrrrrrrAAexAeyAezAexxxrrAA5.常用的运算公式复合函数的“三度”运算公式dfrrdArrdAfuu,Auu,Auudududu积分变换公式局斯公式：rrrrqAdsAdVdVA:SVVrrrrrr斯托克斯公式：2AdiASdSdSSA格林公式：2r第一公式2dVdSVISoor第二公式22dVdSv?S一般规则dVVrdSS?SdSr?Ldl其他规则VVdVVdVdVVdVrAtTtTr2dSrr2dSArt狎丁rt2dSTrdSVrdSSrdSSrdSSrAtTtTr?LdSr?Ldlr?Ldlr?LdlrAtTtT1.证左般变换规则证明：rdVAV:任取常矢量rdVCVrr?dSArC点乘上式两端rAdVVrArC用rrABrArrBArBr蜒SrArCrCSrrdSA用混合积公式2.rdSSrrA?LdlrA证:左rCSrdSrASrdSrrAC，一r蜒ArCrdlr
