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1、第10章 动能定理及其应用101 计算图示各系统的动能：1质量为m，半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为vB，q = 45（图a）。2图示质量为m1的均质杆OA，一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v（图b）。(a)vOwA习题101图(b)(c)A3质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为w（图c）。解：123习题102图(a)102 图示滑块A重力为，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为、长为l
2、的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为，杆AB的角速度为。当杆与铅垂线的夹角为时，试求系统的动能。解：图（a） 习题103图(a)103 重力为、半径为的齿轮II与半径为的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲柄OC带动而运动。曲柄的重力为，角速度为，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。解：104 图示一重物A质量为m1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为m2，其对O轴的回转半径为。试求重物A的加速度。习题104图解： 将滚子C、滑轮D、物块A所组成的
3、刚体系统作为研究对象，系统具有理想约束，由动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。设系统在物块下降任意距离s时的动能动能：其中，力作的功：应用动能定理：将上式对时间求导数：求得物块的加速度为：习题105图O105 图示机构中，均质杆AB长为l，质量为2m，两端分别与质量均为m的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k，且当 = 0时，弹簧为原长。若机构在 = 60时无初速开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。解：应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。动能：其中：；外力的功：T = W ； （1）当时：；对式（1）求导：；其中：；当时：习题106图106 图a与图
4、b分别为圆盘与圆环，二者质量均为m，半径均为r，均置于距地面为h的斜面上，斜面倾角为q，盘与环都从时间开始，在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面解：对图（a）应用动能定理：；求导后有设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d，则； 对图（b）应用动能定理：；求导后有；习题107图因为t1 t2，所以圆盘（a）先到达地面。 107 两匀质杆AC和BC质量均为m，长度均为l，在C点由光滑铰链相连接，A、B端放置在光滑水平面上，如图所示。杆系在铅垂面内的图示位置由静止开始运动，试求铰链C落到地面时的速度。解：设铰链C刚与地面相碰时速度。根据运动学分析点及点分别为及杆的速度瞬心，如图（a）(a)
5、动能定理：习题108图108 质量为15kg的细杆可绕轴转动，杆端A连接刚度系数为k=50N/m的弹簧。弹簧另一端固结于B点，弹簧原长。试求杆从水平位置以初角速度=s落到图示位置时的角速度。解：， (a) rad/s习题109图109 在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为m 、半径为r，可沿水平面作纯滚动。刚性系数为k的弹簧一端固定于B，另一端与圆盘中心O相连。运动开始时，弹簧处于原长，此时圆盘角速度为w，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的角加速度a及圆盘与水平面间的摩擦力。解：（1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的伸长量为d，则；OFOFAFN（a）
6、amg；（2）如图（a）：；习题1010图1010 在图示机构中，鼓轮B质量为m，内、外半径分别为r和R，对转轴O的回转半径为，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块A，另一端与质量为M、半径为r的均质圆轮C相连，斜面倾角为j，绳的倾斜段与斜面平行。试求：（1）鼓轮的角加速度a；（2）斜面的摩擦力及连接物块A的绳子的张力（表示为a的函数）。解：（1）应用动能定理：T = W其中：；CFCFFN（a）aMgmgFT（b）aA设物块A上升距离sA时：对动能定理的表达式求导：（2）如图（a）：；如图（b）：；1011 匀质圆盘的质量为、半径为r，圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O转动，以起
7、吊重物A，如图所示。若重物A的质量为；弹簧刚度系数为k。试求系统的固有频率。解：设弹簧上OB位于铅垂位置时为原长，则动能习题1011图 ：(a) 1012 图示圆盘质量为m、半径为r，在中心处与两根水平放置的弹簧固结，且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为。试求系统作微振动的固有频率。解：设静止时弹簧的原长，则习题1012图动能弹力功： ： 习题1013图1013 测量机器功率的功率计，由胶带ACDB和一杠杆BOF组成，如图所示。胶带具有铅垂的两段AC和DB，并套住受试验机器和滑轮E的下半部，杠杆则以刀口搁在支点O上，借升高或降低支点，可以变更胶带的拉力，同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。在处挂
8、一重锤，杠杆即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量m=3kg，500mm，试求发动机的转速n=240r/min时发动机的功率。解：设发动机的角速度为。则（rad/s）(a)又 ，发动机作等速转动。滑轮E的角加速度。滑轮E受力分析如图（a）。由 得 （1）取杠杆为研究对象，受力如图（b）。(b)由 得 （2）且 ， （3）综合（1）、（2）、（3）可得： 发动机的功率=(kW)1014 在图示机构中，物体A质量为m1，放在光滑水平面上。均质圆盘C、B质量均为m，半径均为R，物块D质量为m2。不计绳的质量，设绳与滑轮之间无相对滑动，绳的AE段与水平面平行，系统由静止开始释放。试求物体
9、D的加速度以及BC段绳的张力。解：（1）设物块D习题1014图下降距离s时，速度为vD，则系统动能为：其中：；重力的功为：；应用动能定理并求导：C（a）m2gmgFBCaDDFTO（2）如图（a），应用相对速度瞬心的动量矩定理：；其中：1015 图示机构中，物块A、B质量均为m，均质圆盘C、D质量均为2m，半径均为R。C轮铰接于长为3R的无重悬臂梁CK上，D为动滑轮，绳与轮之间无相对滑动。系统由静止开始运动，试求（1）物块A上升的加速度；（2）HE段绳的张力；（3）固定端K处的约束力。解：（1）设物块A上升距离s时，速度为vA，则系统动能为：习题1015图其中：；C（a）mg2mgFHEaAD
10、FC重力的功为：；应用动能定理并求导：；（2）如图（a），应用动量矩定理：其中：C（b）MKFKxKFCFKy应用动量定理：；（3）如图（b），应用平衡方程：；1016 两个相同的滑轮，视为匀质圆盘，质量均为m，半径均为R，用绳缠绕连接，如图所示。如系统由静止开始运动，试求动滑轮质心C的速度v与下降距离h的关系，并确定AB段绳子的张力。习题1016图解：1、先对O、C轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理：对O轮： （1）对C轮： （2）， 由（1）、（2）： （3）(a)2、再对整体用动能定理 （4）（动系为绳AB） （5）（3）、（5）代入（4）得： （6）（6）式两边对t求导：（5）代入，得：（5）式对t求导，得：轮心、质心运动定理：绳中张力：8
