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1、第10章 动能定理及其应用101 计算图示各系统的动能:1质量为m,半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时,若已知圆盘上A、B两点的速度方向如图示,B点的速度为vB,q = 45(图a)。2图示质量为m1的均质杆OA,一端铰接在质量为m2的均质圆盘中心,另一端放在水平面上,圆盘在地面上作纯滚动,圆心速度为v(图b)。(a)vOwA习题101图(b)(c)A3质量为m的均质细圆环半径为R,其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动,图示瞬时角速度为w(图c)。解:123习题102图(a)102 图示滑块A重力为,可在滑道内滑动,与滑块A用铰链连接的是重力为、长为l
2、的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为,杆AB的角速度为。当杆与铅垂线的夹角为时,试求系统的动能。解:图(a) 习题103图(a)103 重力为、半径为的齿轮II与半径为的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲柄OC带动而运动。曲柄的重力为,角速度为,齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。解:104 图示一重物A质量为m1,当其下降时,借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B的半径为R,与半径为r的滚子C固结,两者总质量为m2,其对O轴的回转半径为。试求重物A的加速度。习题104图解: 将滚子C、滑轮D、物块A所组成的
3、刚体系统作为研究对象,系统具有理想约束,由动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。设系统在物块下降任意距离s时的动能动能:其中,力作的功:应用动能定理:将上式对时间求导数:求得物块的加速度为:习题105图O105 图示机构中,均质杆AB长为l,质量为2m,两端分别与质量均为m的滑块铰接,两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k,且当 = 0时,弹簧为原长。若机构在 = 60时无初速开始运动,试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。解:应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。动能:其中:;外力的功:T = W ; (1)当时:;对式(1)求导:;其中:;当时:习题106图106 图a与图
4、b分别为圆盘与圆环,二者质量均为m,半径均为r,均置于距地面为h的斜面上,斜面倾角为q,盘与环都从时间开始,在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面解:对图(a)应用动能定理:;求导后有设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d,则; 对图(b)应用动能定理:;求导后有;习题107图因为t1 t2,所以圆盘(a)先到达地面。 107 两匀质杆AC和BC质量均为m,长度均为l,在C点由光滑铰链相连接,A、B端放置在光滑水平面上,如图所示。杆系在铅垂面内的图示位置由静止开始运动,试求铰链C落到地面时的速度。解:设铰链C刚与地面相碰时速度。根据运动学分析点及点分别为及杆的速度瞬心,如图(a)(a)
5、动能定理:习题108图108 质量为15kg的细杆可绕轴转动,杆端A连接刚度系数为k=50N/m的弹簧。弹簧另一端固结于B点,弹簧原长。试求杆从水平位置以初角速度=s落到图示位置时的角速度。解:, (a) rad/s习题109图109 在图示机构中,已知:均质圆盘的质量为m 、半径为r,可沿水平面作纯滚动。刚性系数为k的弹簧一端固定于B,另一端与圆盘中心O相连。运动开始时,弹簧处于原长,此时圆盘角速度为w,试求:(1)圆盘向右运动到达最右位置时,弹簧的伸长量;(2)圆盘到达最右位置时的角加速度a及圆盘与水平面间的摩擦力。解:(1)设圆盘到达最右位置时,弹簧的伸长量为d,则;OFOFAFN(a)
6、amg;(2)如图(a):;习题1010图1010 在图示机构中,鼓轮B质量为m,内、外半径分别为r和R,对转轴O的回转半径为,其上绕有细绳,一端吊一质量为m的物块A,另一端与质量为M、半径为r的均质圆轮C相连,斜面倾角为j,绳的倾斜段与斜面平行。试求:(1)鼓轮的角加速度a;(2)斜面的摩擦力及连接物块A的绳子的张力(表示为a的函数)。解:(1)应用动能定理:T = W其中:;CFCFFN(a)aMgmgFT(b)aA设物块A上升距离sA时:对动能定理的表达式求导:(2)如图(a):;如图(b):;1011 匀质圆盘的质量为、半径为r,圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O转动,以起
7、吊重物A,如图所示。若重物A的质量为;弹簧刚度系数为k。试求系统的固有频率。解:设弹簧上OB位于铅垂位置时为原长,则动能习题1011图 :(a) 1012 图示圆盘质量为m、半径为r,在中心处与两根水平放置的弹簧固结,且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为。试求系统作微振动的固有频率。解:设静止时弹簧的原长,则习题1012图动能弹力功: : 习题1013图1013 测量机器功率的功率计,由胶带ACDB和一杠杆BOF组成,如图所示。胶带具有铅垂的两段AC和DB,并套住受试验机器和滑轮E的下半部,杠杆则以刀口搁在支点O上,借升高或降低支点,可以变更胶带的拉力,同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。在处挂
8、一重锤,杠杆即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量m=3kg,500mm,试求发动机的转速n=240r/min时发动机的功率。解:设发动机的角速度为。则(rad/s)(a)又 ,发动机作等速转动。滑轮E的角加速度。滑轮E受力分析如图(a)。由 得 (1)取杠杆为研究对象,受力如图(b)。(b)由 得 (2)且 , (3)综合(1)、(2)、(3)可得: 发动机的功率=(kW)1014 在图示机构中,物体A质量为m1,放在光滑水平面上。均质圆盘C、B质量均为m,半径均为R,物块D质量为m2。不计绳的质量,设绳与滑轮之间无相对滑动,绳的AE段与水平面平行,系统由静止开始释放。试求物体
9、D的加速度以及BC段绳的张力。解:(1)设物块D习题1014图下降距离s时,速度为vD,则系统动能为:其中:;重力的功为:;应用动能定理并求导:C(a)m2gmgFBCaDDFTO(2)如图(a),应用相对速度瞬心的动量矩定理:;其中:1015 图示机构中,物块A、B质量均为m,均质圆盘C、D质量均为2m,半径均为R。C轮铰接于长为3R的无重悬臂梁CK上,D为动滑轮,绳与轮之间无相对滑动。系统由静止开始运动,试求(1)物块A上升的加速度;(2)HE段绳的张力;(3)固定端K处的约束力。解:(1)设物块A上升距离s时,速度为vA,则系统动能为:习题1015图其中:;C(a)mg2mgFHEaAD
10、FC重力的功为:;应用动能定理并求导:;(2)如图(a),应用动量矩定理:其中:C(b)MKFKxKFCFKy应用动量定理:;(3)如图(b),应用平衡方程:;1016 两个相同的滑轮,视为匀质圆盘,质量均为m,半径均为R,用绳缠绕连接,如图所示。如系统由静止开始运动,试求动滑轮质心C的速度v与下降距离h的关系,并确定AB段绳子的张力。习题1016图解:1、先对O、C轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理:对O轮: (1)对C轮: (2), 由(1)、(2): (3)(a)2、再对整体用动能定理 (4)(动系为绳AB) (5)(3)、(5)代入(4)得: (6)(6)式两边对t求导:(5)代入,得:(5)式对t求导,得:轮心、质心运动定理:绳中张力:8