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1、第七章 质点动力学 习题解答7-1 质量为40 g的小球M以初速度v =8 j (m/s)从点A(0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i方向恒定的电磁力作用，其大小F = kN，如图所示。求小球M到达xy平面点B时，点B的坐标和小球的速度。解：取小球M为研究对象，小球所受到的主动力为 由质点运动微分方程，写出投影式 ，初始条件为，；，解得质点的速度方程为 ，质点的运动方程为 ，当时，小球到达xy平面，由 解得，于是小球到达xy平面时的各速度分量为，.各坐标为题7-2图，.7-2 图示A，B两物体的质量分别为mA和mB，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r。运动开始时，两物体的高度差
2、为h，且mA mB，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。 题7-2受力图解：分别取A和B物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程 ， ， 式中，根据题意，有，初始条件 ，.解以上初值问题，得 ， ， 令，即解得当两物体达到相同高度时 .7-3 质量为m的质点M受到引力F = -k2mr的作用，其中k为常量，运动开始时，质点M在轴x上，OM0 = b，初速度v0与轴x的夹角为b，如图所示。试求质点M的运动方程。bv0M0FMrOixy题7-3图解：取质点M为对象，列出质点运动微分方程：，投影式为 ，初始条件：，；，.解上述初值问题，得质点M的运动方程 ，.题7-4图
3、题7-2受力图7-4 图示套管A的质量为m，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另一端绕过离杆距离为l的滑轮B而缠在鼓轮上，当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v0。如果滑轮尺寸略去不计，试求绳子的拉力与距离x之间的关系。解：取套管A为研究对象，受力图如图示，先进行运动学分析. 将 对时间求导，得 解出 ，再对时间求导，并将上式代入，得mg .在铅锤方向列出动力学方程 其中，于是绳子的拉力与距离x之间的关系为 .7-5 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当r = 10 000 m，q = 60，且时，火箭的质量为5 000 kg。求此时的喷射反推力F。题7-5图 解：以火箭为研究对象，设坐
4、标系如图示， ，将上式对时间求导后，解得火箭的速度 再次对时间求导，并将上式代入，解得火箭的加速度 在方向列写动力学方程， ，喷射反推力F为将数据代入，求得此时的喷射反推力 .7-6 质量皆为m的两物块A，B以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平及铅垂面上，如图所示。当自由释放时，求此瞬时杆AB所受的力。题7-6图解：1）取物块A为研究对象，AB杆为二力杆，受力图如图示，列出动力学方程 ， （a）2）取物块B为研究对象， (b)3）运动学分析 对时间求二次导数，得 ；题7-6受力图在初瞬时，初加速度为 ， (c) 由（a）、(b) 、(c)三式解得 据题意，初瞬时，杆AB所受的力为 .题7-7图7-
5、7 质量为m的小球以水平速度v0射入静水之中。如水对小球的阻力F与小球速度v的方向相反，且与速度的大小成正比，即F = -mv，m为阻尼系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。解：取小球为研究对象，列出动力学方程 ，投影式为 ，初始条件： ，.解上述初值问题，得小球在重力和阻力作用下的运动方程为 ，.题7-8图7-8 滑块M的质量为m，在半径为R的固定光滑圆环上滑动。圆环位于铅垂平面内。滑块M上系有一弹性绳，它穿过圆环的点O固定于A。已知当滑块在点O时，绳的张力为零。弹性绳每伸长1 (cm)需力c (N)。开始时滑块在圆环的顶端点B，处在不稳定平衡状态，当它受到微小扰动时
6、，沿圆环滑下，j为绳的OM部分与水平线的夹角，如图所示。试求滑块M的下滑速度v与j角的关系以及圆环的约束力。解：取滑块M为研究对象，受力图如图示，列出切线和法线方向的动力学方程， ， （a） , (b)式中，.初始条件为滑块受力图 ，.解此初值问题. 关系利用，积分式（a） ，得滑块M的下滑速度v与j角的关系，（与方向相反）.从（b）式解得圆环的约束力 .习题7-97-9 作用有简谐激振力F，并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图所示。设质点的质量为m = 350 kg，弹簧的刚度为k = 20 kN/m，简谐激振力振幅的大小H = 100 N，激振频率f = Hz ,阻尼元件的阻尼系数c = 16
7、00 Ns/m，试求系统受迫振动的振幅，受迫振动相位滞后激振力相位角和受迫振动的方程。解：选取平衡位置为坐标原点，轴垂直向下，为单位向量，弹性恢复力 ，粘性阻尼力 ，简谐激振力 质点运动微分方程的为化作标准形式其中 ，振幅为 受迫振动相位滞后激振力相位角的正切为质点受力图 代入数据，得 ,. 受迫振动的方程为 7-10质量为m 的质点在水平面的上空受斥力的作用而处于悬浮状态，斥力的大小与质点到这平面的距离成反比，比例系数为l。求质点在平衡位置附近作竖向微振动的运动微分方程。解：以质量为m 的质点为研究对象，以斥力为零的水平面为坐标原点，斥力为，受力图如图示，运动微分方程为 .题7-117-11
8、 在图示振动系统中，已知：重物A的质量m = 1 kg，两串联弹簧的刚度系数分别为k1 =12 N/cm, k2 = 4 N/cm，q = 30，斜面摩擦不计，在弹簧没有变形时将重物A无初速地释放，同时B端以x = (10t) cm沿斜面运动。试求重物A的运动方程。解：取重物A为研究对象，串联弹簧的等效刚度系数满足 解得， 建立与B固结的动坐标系，坐标原点选在A的相对经平衡位置。牵连惯性力为，滑块受力图列出相对运动动力学方程 ，即 ，通解为根据初始条件：，解得重物A的相对运动方程 .题7-12图7-12倾角为q的楔块A的质量为mA，静止地置于光滑的水平面上，物块B的质量为mB，放在楔块A的光滑
9、斜面上，如图所示。当无初速地释放物块B后，求楔块A与物块B之间相互作用力的大小。解：1）取楔块A为研究对象，列出水平方向的动力学方程 2）取物块B为研究对象，物块B作合成运动，以楔块A为动系。列出动力学方程物块A 和B的受力图 ， ，联立上面三式，并注意到，解得 ， ，楔块A与物块B之间相互作用力的大小为 .题7-13图7-13 质量为m的小环M套在弯成y = f(x)形状的光滑金属丝上，金属丝通过坐标原点并绕竖直轴Oy以等角速度w转动，如图所示。如果要使小环在金属丝的任何位置都能处于相对平衡状态，试求金属丝的形状以及平衡时金属丝对小环的作用力。解：以小环M为对象，光滑金属丝为动系，设为沿动系坐标轴的单位向量，则相对速度： ，牵连加速度：，小环受力图因相对平衡时，所以科氏加速度.，牵连惯性力：，科氏惯性力：.列出相对平衡方程，向切线，即速度方向投影，导出，积分上式得金属丝的形状为：.从而 ，平衡时金属丝对小环的作用力大小为题7-14图.7-14 质量为2106 kg的列车以54 km/h的速度由南向北行驶。试求列车行驶到北纬40时，列车对铁轨的侧压力。解：列车对铁轨的侧压力等于科氏惯性力.以列车为研究对象，地球为动参考系，建立图示动坐标系，沿动系坐标轴的单位基矢量为，则列车相对速度和地球转动的角速度为等于 ， ，科氏加速度为 ，科氏惯性力为 ，代入数据，得列车对铁轨的侧压力 。7
