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1、概率论与数理统计习题五1 .已知，利用切比雪夫不等式估计概率.解： 据切比雪夫不等式 .2设随机变量的数学期望，方程，利用切比雪夫不等式估计.解：令，则由切比雪夫不等式 ， 有.3. 随机地掷颗骰子，利用切比雪夫不等式估计颗骰子出现点数之和在之间的概率.解： 设为颗骰子所出现的点数之和；为第颗骰子出现的点数，则，且独立同分布，分布律为：，于是所以 ，因此 故由切比雪夫不等式得：.即颗骰子出现点数之和在之间的概率大于等于 .4. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为，方差为，求在次炮击中，有颗到颗炮弹击中目标的概率.解： 以表示第次炮击击中的颗数 有 ，据 定理：则 .
2、5. 一盒同型号螺丝钉共有个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是，标准差是.求一盒螺丝钉的重量超过的概率.解： 设为第个螺丝钉的重量，且它们之间独立同分布，于是一盒螺丝钉的重量，且由，知，由中心极限定理有： .6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从上的均匀分布.（1）若有个数相加，则其误差总和的绝对值超过的概率是多少（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于的概率达到以上.解： 设为第个加数的取整舍入误差，则为相互独立的随机变量序列，且均服从上的均匀分布，则 （1） 因很大，由独立同分布中心极限定理对该误差总
3、和， .即误差总和的绝对值超过的概率达到 .(2) 依题意，设最多可有个数相加，则应求出最大的，使得由中心极限定理： .即查正态分布得即取，最多可有个数相加 .7. 在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险，在1年中，每人的的死亡率为，参加保险的人在年第天交付保险费元，死亡时家属可以从保险公司领取元，求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.解 以表示年死亡的人数依题意，注意到其概率为 .即保险公司亏本的概率几乎为 .8. 假设是独立同分布的随机变量，已知 .证明：当充分大时，随机变量近似服从正态分布.证明：由于独立同分布，则也独立同分布由 有， 因此，根据中心极限定理：即当充分大时
4、，近似服从 .9. 某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占，以表示在随机抽查的个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出的概率分布；（2）利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理.求：被盗索赔户不少于户，且不多于户的概率.解 （1），所以 ，（2） .10 . 某厂生产的产品次品率为，为了确保销售，该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%，问：该厂需要在一盒中装多少只产品解：设每盒中装只产品，合格品数 ，则所以解得，即每盒至少装117只才能以95%的概率保证一盒内有100只正品。11. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时，每户用电的概率为，利用 中心极限定理：（1）计
5、算同时用电户数在户以上的概率（2）若每户用电瓦，问：电站至少应具有多大发电量，才能以的概率保证供电解 以表示用电高峰时同时用电的户数（1）依题意，又，于是据 定理：（2） 设电站至少具有瓦发电量，才能的概率保证供电，则因为要：查表得：得即电站具有瓦发电量，才能以的概率保证供电 . （B）1、设随机变量服从参数为的指数分布，相互独立，且都与的分布相同，求当时，依概率收敛的极限 .（答案：）2、设相互独立，且分布相同，存在，则根据独立同分布的中心极限定理，当充分大时，近似服从正态分布，求分布参数. （答案：）3、某生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，其平均值为50kg，标准差为5k
6、g. 若用最大载重量为5吨的卡车承运，利用中心极限定理说明，每辆车最多可装多少箱才能保证不超载的概率大于（答案：）习题六1.设是来自 上均匀分布的样本，末知，求样本的联合密度函数解: 2. 设总体服从参数为的泊松分布，其概率分布律为：求：样本的联合分布律为：解： . 3若总体，其中已知，但末知，而为它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量.（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6）解： （1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数，所以不是统计量 .4. 总体的一组容量为的样本观测值为：，求经验分布函数.解 :将样本
7、观测值重新排序为：，所以经验分布函数为：5. 来自总体的一组样本观测值为： 求样本均值，样本方差和样本标准差.解：， .6. 在总体中随机抽取一容量为的样本，求样本均值在到之间的概率.解： 由知故所求概率为 .7. 设随机变量与相互独立，且，证明 .证明：由于，则 据分布的定义，.8. 若对总体有，取的容量为的样本，样本均值为，问多大时，有解： 由，知即查表得，即 .9. 设总体，并且，相互独立，现从两总体中分别抽取容量为的样本，样本均值分别为，求 .解： .10. 设总体，都服从正态分布，并且，相互独立，分别是总体和的容量为的样本均值，确定的值，使 .解 由于于是，.即，查表得，取 .11.
8、 设总体，为的一个样本，设，求常数，使分布.解 由于独立同分布所以于是=其中所以即 .12. 设为来自总体的样本，求 .解 设总体为，则由可知，由定理 可知利用分布表，可得 .13. 设是总体的一个样本，若统计量，试确定与 .解 由于独立同分布,所以,且两者相互独立,由分布定义知故 , .14. 设总体 ， 是样本，求的分布.解 记，则有，由于则 .下面证明和相互独立.因为，都服从标准正态分布，因此只要证明，互不相关，即即可.由于，因此，.这样.15. 设总体,从二总体中分别抽取样本,得到下列数据: , , ； , ,，求概率 .解 由于故 .从而 .B1. 设有个产品，其中有个次品，进行放回抽样，定义如下：求样本的联合分布.解: 因为是放回抽样，所以独立同分布，.则的联合分布为.2设总体，是样本，证明：.证: 由和得 .使用分布期望和方差的公式，于是， .3.设是来自正态总体的简单随机样本，, .证明统计量服从自由度为的分布.证: 因为为末知，而，.由与的独立性，故由正态总体样本方差的性质知，又由与独立知，与独立，与独立，于是也与独立.从而，由分布随机变量的构造知20
