《第一章-实数集与函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章-实数集与函数（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学分析课件主讲：高凌云主讲：高凌云暨南大学数学系2014年9月-2015年1月Mathematics Analysis 记号与术语记号与术语数学分析概述 一一 、研究对象、研究对象变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性质性质。函数及其性质：单调性、有界性、奇偶性、最大（小）值、极大（小）值、周期性、图象、需要指明的是：中学也研究函数的这些性质，但主要采用“静止”、“孤立”的方法去研究函数而在数学分析中主要采用“运动”、“联系”、“变化”的过程把握变化的结果因而数学分析中的方法具“运动性”、“变化性”如何研究函数？通过什么方式、角度去研究呢？或用
2、什么样的工具去研究函数呢？这些构成数学分析的主要内容变量变量数学分析数学分析数学分析数学分析函数函数极限方法极限方法极限论极限论微分学微分学积分学积分学级数论级数论（单变量和多变量）（单变量和多变量）工具工具基础基础中心中心对象对象对象对象变动观点变动观点关系关系第一章第一章 实数集与函数实数集与函数1 1 实数实数2 2 数集数集 确界原理确界原理3 3 函数的概念函数的概念4 4 复合函数与反函数复合函数与反函数1.1 1.1 实数实数一一 . .实数及其性质实数及其性质二二. . 绝对值与不等式绝对值与不等式 若若规规定定： 则有限十进小数都能表示成无限循环小数则有限十进小数都能表示成无
3、限循环小数.实实数数对正整数对正整数对正整数对正整数对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）对负有限小数（包括负整数）y, y,先将先将先将先将- y- y表示成无限小数，表示成无限小数，表示成无限小数，表示成无限小数，再在无限小数前加负号如再在无限小数前加负号如再在无限小数前加负号如再在无限小数前加负号如: -8=-7.999: -8=-7.999一一 . 实数及其性质：实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义回顾中学中关于有理数和无理数的定义.说明: 对于负实数x,y,若有-x = -y与-x -y, 则分别称x = y与x x)2.两个实
4、数的大小关系 说明: 自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2 , 1(, 2 , 1,. 90 , 90), 2 , 1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数LLLLLLL 1)定义1 定定义义2 设 为实数x的n位不足近似位不足近似，而有理数 称为x的n位位过过剩近似，剩近似，n=0, 1, 2, .为非负实数.称有理数2) 通过有限小数比较大小的等价条件通过有限小数比较大小的
5、等价条件 对对于于负实负实数数其n位不足近似位不足近似和n位位过过剩近似剩近似分别规定为和 注意：注意：对任何实数x, 有, 命题1 设实数的性质 1.实实数数集集R对对加加,减减,乘乘,除除(除除数数不不为为0)四四则则运运算算是是封封闭闭的的.即即任任意意两两个个实实数数和和,差差,积积,商商(除除数数不不为为0)仍然是实数仍然是实数. 2.实实数数集集是是有有序序的的.即即任任意意两两个个实实数数a, b必必满满足足下下述三个关系之一述三个关系之一: a b .为两个实数，则为两个实数，则3.实实数数集集的的大大小小关关系系具具有有传传递递性性.即即若若a b, b c,则则有有ac.5
6、.实实数数集集R具具有有稠稠密密性性.即即任任何何两两个个不不相相等等的的实实数数之之间间必必有另一个实数有另一个实数,且既有有理数且既有有理数,也有无理数也有无理数.6.实实数数集集R与与数数轴轴上上的的点点具具有有一一一一对对应应关关系系.即即任任一一实实数数都都对对应应数数轴轴上上唯唯一一的的一一点点,反反之之,数数轴轴上上的的每每一一点点也也都都唯唯一的代表一个实数一的代表一个实数. , 0 , , . 4 b na n a b R b a , 使得使得 则存在正整数则存在正整数 若 即对任何即对任何 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性 例1 证明 例2 证明 .:,yrxr，yx满
7、足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,babaRba则有若对任何正数证明设ee.,.bababababa,从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeeea0-a二二. 绝对值绝对值与不等式与不等式从数从数轴轴上看上看的的绝对值绝对值就是到原点的距离：就是到原点的距离： 绝对值绝对值定义：定义：绝对值的一些主要性质绝对值的一些主要性质性性质质4（三角不等式）的（三角不等式）的证证明：明：由此可推出几个重要不等式几个重要不等式: 均值不等式:(算术平均值)(几何
8、平均值)(调和平均值)有平均值不等式:等号当且仅当 时成立. Bernoulli 不等式: 利用二项展开式得到的不等式:由二项展开式1.2 数集确界原理一、区间与邻域 二、上确界、下确界一、区间与邻域1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何
9、集合的子集.2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域: :二 有界集确界原理1 有（无）界数集有（无）界数集:定义(上、下有界, 有界)数集数集S有上界有上界数集数集S无上界无上界数集数集S有下界有下界数集数集S无下界无下界数集数集S有界有界
10、数集数集S无界无界例例 证证明集合明集合 是无界数集是无界数集.证明：证明：由无界集定由无界集定义义，E 为为无界集无界集.2 确界: 直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上确界， 同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界，MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界确界的精确定义 例3 设数集S有上确界.证明 例4 设 A, B为非空数集,满足:证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且证: 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. 是数集A的一个上界,而由上确界的定义知由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界, A中任一数 都是B的下
11、界, 是数集A的最小上界, 故有 而此式又表明数 是数集B的一个下界, 故由下确界的定义证得 例例5 5 为为非空数集非空数集, , 试证试证明明: : 证证 有有或或 由由和和分分别别是是的下界的下界,有有或或即即 是数集是数集的下界的下界, .和和2、3、上 3.数集与确界的关系数集与确界的关系: 确界不一定属于原集确界不一定属于原集合合. 以例以例1为例做解释为例做解释. 4.确界与最值的关系确界与最值的关系: 设 E为数集. E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论. 5
12、确界原理确界原理 定理定理1 (确界原理确界原理). 设设 E 为非空数集，若为非空数集，若E有上界，则有上界，则E必有上确界；若必有上确界；若E有下界，则有下界，则E必有下确界。必有下确界。设设A,B为非空有限数集为非空有限数集, . 证明证明: 例6 证: 故得 所以 综上,即证得1.3 函数的一般概念函数的一般概念一.一.函数的概念函数的概念 2 2 几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例3 3 函数的性质函数的性质 一、函数概念一、函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究对象函数是整个高等数学中最基本的研究对象, , 可以说数学分析就是研究函数的可以说数学分析就是研究函数的. .因此我
13、们对因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识的认识. . 因变量因变量自变量自变量D 称为称为定义域，定义域，记作记作Df ，即，即 Df = D .函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域，值域，记为：记为：对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: :定义域定义域与与对应法则对应法则.自变量自变量因变量因变量约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值意义的一切实数值.关于函数定义的几点说明关于函数定义的几点说明: :定义定义: :如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个
14、数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫做多值函数则叫做多值函数函数的相等与不等函数的相等与不等注：分清和“函数值的相等与不等”。 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的 函数的表示法 单值函数与多值函数 在函数的定义中在函数的定义中,对每个对每个x D, 对应的函数值对应的函数值y总是总是唯一的唯一的, 这样定义的函数称为单值函数这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则如果给定一个对应法则, 按这个法则按这个法则
15、, 对每个对每个x D, 总有确定的总有确定的y值与之对应值与之对应, 但这个但这个y不总是唯一的不总是唯一的, 我们称我们称这种法则确定了一个多值函数这种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数: 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D(-, +),其值域为Rf 0, + ). (2) (1)常值函数 yc.其定义域为D(-, ),其值域为Rf c.下页三几个特殊的函数举例三几个特殊的函数举例 (3) 符号函数符号函数 其定义域为D(-, +) ,其值域为Rf -1, 0, 1.(4) 取整函数取整函数 y=x
16、x表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数阶梯曲线阶梯曲线其定义域为D=(-, +),其值域为 =Z.例： （5）“非负小数部分”函数 它的定义域是有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(6) 狄利克雷函数狄利克雷函数其定义域为D=(-, +) ,其值域为 =0, 1.(7) 取最值函数取最值函数yxoxo(8)Riemann 函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用对应法则用不同的不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分分段段函函数数例例2 2解解故故三、函数的性质M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:M-Myxoy =f (x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:四、函数的性质四、函数的性质 f(x)sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.所以函数无上界.有界函数举例 例例32函数的单调性函数的单调性:xyoxyo3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指
