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1、 教育管理高等学校全国统考试数学试题 (5)设是 R上的一个运算,A是 R的非空子集,若对任意有,则称 A对运算封闭,下列数+集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集(B)整数集(C)有理数集(D)无理数集(6)的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A)(B)(C)(D)(7)与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为(A)(B)(C)(D)(8)曲线与曲线的(A)焦距相等(B)离心率相等(C)焦点相同(D)准线相同(9)在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于(A)(B)(C)(D)(10)直线与曲线的大众点的个数为(A)1(B)2(C)3
2、(D)4(11)已知函数,则的值域是(A)(B)(C)(D)(12)设,点是线段上的一个动点,若,则实数的取值范围是(A)(B)(C)(D)二.填空题(13)设则_(14)_(15)5名乒乓球队员中,有 2名老队员和 3名新队员.现从中选出 3名队员排成 1、2、3号参加团体比赛,则入选的 3名队员中至少有一名老队员,且 1、2号中至少有 1名新队员的排法有_种.(以数作答)(16)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_三解答题(17)(本小题满分 12分)已知函数,.求:(I)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(II)函数的单调增区间.(18)(本小题满分 12分)已知正方
3、形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(I)证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.(19)(本小题满分 12分) 现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后利润是 1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行 2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元,取 0、1、2时,一年后相应利润是 1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元
4、一年后的利润.(I)求、的概率分布和数学期望、;(II)当时,求的取值范围.(20)(本小题满分 14分)已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I)证明线段是圆的直径;(II)当圆 C的圆心到直线 X-2Y=0的距离的最小值为时,求 P的值。21（本小题满分 12分）已知函数 f(x)=,其中 a,b,c 是以 d 为公差的等差数列,且 a0,d0.设1-上,在,将点 A,B,C(I)求(II)若ABC有一边平行于 x轴,且面积为,求 a,d的值22（本小题满分 12分）已知,其中,设,.(I)写出;(II)证明:对任意的,恒有.2007 年（辽宁卷）数学（供文科
5、考生使用）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1若集合,则（）ABCD2若函数的反函数图象过点,则函数的图象必过点（）ABCD3双曲线的焦点坐标为（）A,B,C,D,4若向量与不共线,且,则向量与的夹角为（）A0BCD5设等差数列的前项和为,若,则（）A63B45C36D27 6若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是（）A若,则 B若,则C若,则 D若,则7若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量（）ABCD8已知变量满足约束条件则的取值范围是（）ABCD9函数的单调增区间为（）ABCD
6、10一个坛子里有编号为 1,2,12的 12个大小相同的球,其中 1到 6号球是红球,其余的是黑球若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1个球的号码是偶数的概率为（）ABCD11设是两个命题：,则是的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件12将数字 1,2,3,4,5,6拼成一列,记第个数为,若,则不同的排列方法种数为（）A18B30C36D48二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分13已知函数为奇函数,若,则14展开式中含的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）15若一个底面边长为,棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的
7、面上,则此球的体积为16设椭圆上一点到左准线的距离为 10,是该椭圆的左焦点,若点满足,则三、解答题：本大题共 6 小题,共 74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000支,该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计,统计结果如下表所示：分组500 , 900 , 1100 , 1300 , 1500 , 1700 , 1900,)900)481100)1211300)2081500)2231700)1931900)165频数频率42（I）将各组的频率填入表中； （II）根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足 1500小时的频率；（I
8、II）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3支,若将上述频率作为概率,试求至少有 2支灯管的使用寿命不足 1500小时的概率（本小题满分 12分）18如图,在直三棱柱中,分别为棱的中点,为棱上的点,二面角为（I）证明：；（II）求的长,并求点到平面的距离（本小题满分 12分）19（本小题满分 12分）已知函数（其中）（I）求函数的值域；（II）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调增区间20已知数列,满足,且（）（I）令,求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式（本小题满分 12分）21已知正三角形的三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,设圆是的内接圆（点为圆
9、心）（I）求圆的方程；（II）设圆的方程为,过圆上任意一点分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值（本小题满分 14分）22已知函数,且对任意的实数均有,（I）求函数的解析式；（II）若对任意的,恒有,求的取值范围（本小题满分 12分）2007 年（辽宁卷）数文试题参考答案与评分参考1C2A3C4D5B6B7C8A9D10D11A12B13114721516217本小题主要考查频率、概率、总体分布的预计、独立重复试验等基础知识,考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力满分 12分（I）解：分组500 , 900 , 1100 , 1300 , 1500 , 1700 , 1900,)90
10、0)481100)1211300)2081500)2231700)1931900)165频数频率420.0480.1210.2080.2230.1930.1650.0424分（II）解：由（I）可得,所以灯管使用寿命不足 1500小时的频率为 0.68分 （III）解：由（II）知,1支灯管使用寿命不足 1500小时的概率,根据在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式可得所以至少有 2支灯管的使用寿命不足 1500小时的概率是 0.64812分18本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与思维能力满分 12分（I）证明：连结,三棱柱是直三棱柱,平面,为在平面内的射
11、影A1C1中,为中点,MB1（II）解法一：过点作的平行线,G交的延长线于,连结C分别为的中点,FAE又,DB平面,为在平面内的射影为二面角的平面角,在中,作,垂足为,平面,平面平面,平面在中,即到平面的距离为,平面,到平面的距离与到平面的距离相等,为解法二：过点作的平行线,交的延长线于,连接分别为的中点,又,平面,是在平面内的射影, 为二面角的平面角,在中,8分设到平面的距离为,即到平面的距离为12分19本小题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力满分 12分（I）解：5分由,得,可知函数的值域为7分（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可
12、知,的周期为,又由,得,即得9分于是有,再由,解得所以的单调增区间为 12分20本小题主要考查等差数列,等比数列等基础知识,考查基本运算能力满分 12分（）解：由题设得,即（）易知是首项为,公差为的等差数列,通项公式为4分（II）解：由题设得,令,则易知是首项为,公比为的等比数列,通项公式为8分由解得,10分求和得12分21本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 14分（I）解法一：设两点坐标分别为,由题设知 解得,所以,或,设圆心的坐标为,则,所以圆的方程为4分解法二：设两点坐标分别为,由题设知又因为,可得即由,可知,故两点关
13、于轴对称,所以圆心在轴上设点的坐标为,则点坐标为,于是有,解得,所以圆的方程为4分（II）解：设,则8分在中,由圆的几何性质得,所以,由此可得则的最大值为,最小值为22.本题考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识,考查数形结合能力以及综合应用数学基础关系解决问题的能力。（1）解法一、由题设得：解法二：由题设得（ii）解：由题设知,对任意的2008 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第卷（选择题共 60 分）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷 1 至 2 页,第卷 3 至 4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件 A、B 互斥,那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4R2如果事件 A、B 相互独立,那么其中 R 表示球的半径 P(AB)=P(A)P(B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 V=R3n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 R 表示球的半径P (k)=Ck Pk(1-
