英才学院机械工程控制基础教案03线性系统的时域分析

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1、Chp.3 时间响应分析时间响应分析 基本要求基本要求 (1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统自由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。 (2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常用的典型输入信号及其特点。 (3) 掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。掌握线性系统中，存在微分关系的输入， 其输出也存在微分关系的基本结论。 (4) 掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；

2、 掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (5) 了解主导极点的定义及作用； (6) 掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 (7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。 重点与难点重点与难点 重点重点 (1) 系统稳定性与特征根实部的关系。 (2) 一阶系统的定义和基本参数， 一阶系统的单位脉冲响应、 单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。 (3) 二阶系统的定义和基本参数； 二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间

3、的对应关系； 二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (4) 系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 难点难点 (1) 二阶系统单位脉冲响应曲线、 单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (2) 系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 建立数学模型后进一步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。 时域分析法利用 L 变换对系统数学模型求解，可以导出各种时域性能指标。 1 时间响应及组成时间响应及组成 1、

4、 响应：古典控制理论中响应即输出，一般都能测量观察到；现代控制理论中，状态变量不一定都能观察到。能直接观察到的响应叫输出。 2、 时间响应：系统在输入信号作用下，其输出随时间变化的规律。 若系统稳定，时间响应由瞬态响应和稳态响应组成。 3、 瞬态响应：系统在达到稳态响应前的时间响应。 4、 稳态响应：当 t时的时间响应。 实际给出一个稳态误差，|x(t)-x()|x() 5、 过渡过程：在 xi(t)作用下，系统从初态到达新状态之间出现一个过渡过程。 原因：系统中总有一些储能元件，使输出量不能立即跟随其输入量的变化。 过渡过程中系统动态性能充分体现： 快速性：响应是否快速； 平稳性：是否有振荡

5、，振荡程度是否剧烈； 稳定性：系统最后是否稳定下来。 6、 时间响应的数学概念： 从数学观点上理解时间响应。 线性定常系统非齐次常系数线性微分方程，其全解=通解+特解 通解：对应齐次方程，由系统初始条件引起（零输入响应，自由响应） 特解：由输入信号引起，包括瞬态和稳态响应。 例：质量-弹簧单自由度系统 动力学方程：my(t)+ky(t)=Fcost 全解：y(t)=y1(t)+y2(t) (通解+特解) =Asinnt+Bcosnt+Ycost 求出 A、B、Y，得： 2 典型输入信号典型输入信号 系统动态性能通过时间响应表现。 时间响应不仅取决于系统本身特性， 还与输入信号的形式有关。 系统

6、输入信号大多具有随机性质。 但从考察系统性能出发， 总可以选取一些具有特殊性质的典型输入信号来替代它们。 选取原则：应能使系统充分显露出各种动态性能； 能反映系统工作的大部分实际情况； 能反映在最不利输入下系统的工作能力； 应是简单函数，便于用数学公式表达、分析和处理。 典型输入信号： 脉冲信号： 理想单位脉冲函数(t) L(t)=1 模拟：碰撞、敲打、冲击等 阶跃信号： 单位阶跃信号 1(t)：R=1 时，L1(t)=1/s 模拟：指令、电压、负荷等的突然转换。 横速信号（斜坡函数）： 单位横速信号 v(t)：R=1 时，Lv(t)=1/s2 模拟：速度信号 恒加速信号： 单位横加速信号 a

7、(t)：R=1 时，La(t)=1/s3 模拟：系统输入一个随时间而逐渐增加的信号。 正弦信号： xi(t)=Asint 模拟：系统受周期信号作用。 本章讨论(t)和 u(t)的时间响应。 3 一阶系统一阶系统 定义：可用一阶微分方程描述的系统。 传递函数： 特征参数：T 一、单位脉冲响应： 输入：xi (t)= (t) Xi(s)=1 响应：W(s)=X0(s)=G(s) 单位脉冲响应： 讨论：只有瞬态项，稳态响应为 0； 单调下降指数曲线； 过渡过程时间 Ts：对=2% Ts=4T 惯性环节：一阶系统惯性较大； 脉冲信号要求：脉冲宽度0.1 时间常数 T。 二、单位阶跃响应： 输入：xi

8、(t)= 1(t) Xi(s)=1/s 响应：X0(s)= G(s)Xi (s)= 单位脉冲响应： 讨论： 瞬态项：，稳态项：0； 单调上升指数曲线； 过渡过程时间 Ts：对=2% Ts=4T 两种方法求 T：xo(t)=0.632 时，t=T t时，x0(t)=1,输入与输出一致； ，求出 xou(t)，再方便求出 w(t) 。 4 二阶系统二阶系统 定义：可用二阶微分方程描述的系统。 传递函数： 特征参数：系统固有频率n，系统阻尼比。 特征方程：s2+2ns+n2=0 特征根： 一、单位脉冲响应： 输入：xi (t)=(t) Lxi (t)=1 响应： 单位脉冲响应： 欠阻尼系统 01：

9、特征根为共轭复数 fig.3.4.2 阻尼频率 无阻尼系统=0： 特征根：共轭纯虚数 s1,2=jn 临界阻尼系统=1： 特征根：两个相等负实数 s1,2=-n 过阻尼系统1： 特征根：两个不等负实数根 为两个一阶系统单位阶跃响应函数的叠加。 讨论：a) =0，等幅持续振荡状态；（实际系统不可能无阻尼）fig.3.4.3 1，无振荡，且 w(t)永远为正值； 01，减幅振荡状态，幅值衰减快慢取决于衰减系数n b) 最大振峰：当 01 时 则 二、单位阶跃响应： 输入：xi (t)= u(t) Lu(t)=1/s 响应： 单位脉冲响应： 欠阻尼系统 01： 瞬态项：减幅振荡， 稳态项：x()=1

10、 无阻尼系统=0： x0(t)=1-cosnt 持续等幅振荡 临界阻尼系统=1： 无振荡，指数规律单调增加，x()=1 过阻尼系统1： 无振荡 当1.5 时， fig.3.4.6 三、性能指标计算（瞬态指标）： 1、指标形式：二阶系统的单位阶跃响应（时域，单位阶跃输入，二阶系统） 原因：容易获得； 最不利输入； 二阶系统能较全面反映系统动态特性。 2、指标定义及计算： 在欠阻尼 01 下给出，选=0.40.8 fig.3.4.7 1）上升时间 tr： 一定，若n，则 tr n一定，若，则 tr 2）峰值时间 tp: tp是有阻尼振荡周期 2/d的一半，tp随n和变化情况与 tr相同。 3）最大

11、超调量 MP： MP直接反映系统过渡过程的平稳性； MP只与有关，与n无关； =0.40.8 时，MP=25%0.5%，=0.7 时，MP=1.5% 4）调整时间 ts（过渡过程时间）： 定义：x0(t)-x0()x0() (tts) 讨论：最佳阻尼比（使 tr和 MP均小） 当=0.02，=0.76 时，ts最小 当=0.05，=0.68 时，ts最小 取设计平均值 =0.707 过大（0.8），不但不减小，反而趣于增大。 原因：阻尼过大，造成迟缓。 5）振荡次数 N： 定义：在 0tts，系统以阻尼频率d为振荡频率所经历的振荡次数。 振荡周期：2/d 调速时间 ts N 反映系统响应平稳性

12、。 N 随增大而减小，直接反映系统阻尼特性。 6）结论： a)系统时间响应性能：由特征量、n决定。 提高n：tr, tp, ts, 提高系统响应速度 增大： MP, N 获得较好的平稳性 b)同时提高n和增大矛盾：即响应速度和振荡性能之间存在矛盾。 c)合理设计系统，满足三方面性能指标。 稳定性（首要），快速性（灵敏性），准确性（精度） 设计中，先从稳定性出发，给出 MP以确定，然后根据其它指标确定n。 5 高阶系统高阶系统 分析方法：抓主要矛盾，忽略次要因素，将问题简化。 实际系统大多为复杂的高阶系统。 建立闭环主导极点概念，将高阶系统简化为一、二阶系统的组合。 二阶系统最能反映系统过渡特性

13、，用二阶系统分析结论，对高阶系统近似分析。 一、高阶系统的时间响应： 系统在单位阶跃作用下有两种情况： 1、G(s)的极点是不相同的实数，全在复平面左半部；（实数极点可组成一阶项） 在阶跃信号下， L- 1变换： 式中，第二项包含多项式分量，随 t，各项均趣于 0 pi值不同，衰减速度不一致。关注：衰减较慢的分量（pi较小）主要影响过渡过程。忽略：衰减较快的分量，从而将高阶低阶。 2、极点位于复平面左半部，为实数极点和共额复数极点（可组成二阶项） 在阶跃信号下， 可见，高阶系统的单位阶跃响应，不管极点是复实数或共额复数，都可看成一阶和二阶单位阶跃响应的叠加。 在各低阶响应中，各极点对系统的动态性能影响不同。 二、主导极点： 条件：距虚轴最近的一对共额极点 s1、s2的附近没有零点; 其它极点距虚轴的距离都在这队极点距虚轴距离的五倍以上； 则这对距虚轴最近的极点称为主导极点。 讨论：主导极点的调整时间是其它极点的 5 倍。 Ts15ts3 主导极点衰减最慢。 忽略非主导极点的影响，将高阶系统近似为二阶振荡系统。