英才学院机械工程控制基础教案05系统的稳定性

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1、Chp.5 系统稳定性系统稳定性 基本要求基本要求 1了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件； 2掌握 Routh 判据的必要条件和充要条件，学会应用 Routh 判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数； 3掌握 Nyquist 判据； 4理解 Nyquist 图和 Bode 图之间的关系； 5掌握 Bode 判据； 6理解系统相对稳定性的概念， 会求相位裕度和幅值裕度， 并能够在 Nyquist 图和Bode 图上加以表示。 重点与难点重点与难点 本章重点本章重点 1Routh 判据、Nyquist 判据和 Bode 判据的应用； 2 系统相对稳定性； 相位

2、裕度和幅值裕度求法及其在 Nyquist 图和 Bode 图的表示法。 本章难点本章难点 Nyquist 判据及其应用。 1 概念概念 示例：振摆 1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。 （图 5.1.2） 讨论：线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。与输入量种类、性质无关。 系统不稳定必伴有反馈作用。（图 5.1.3） 若 x0(t)收敛，系统稳定；若 x0(t)发散，则系统不稳定。 将 X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱 E(s) 稳定 若反馈加强 E(s) 不

3、稳定 稳定性是自由振荡下的定义。 即 xi(t)=0 时，仅存在 xi(0-)或 xi(0+) 在 xi(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。 2、系统稳定的条件： 对anpn+an-1pn-1+a1p+a0 x0(t)=bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0 xi(t) 令 B(s)= anpn+an-1pn-1+a1p+a0 A(s)= bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0 初始条件：B0(s) A0(s) 则 B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)Xi(s)- B0(s) Xi(s)=0,由初始条件引起的输出： L-1变换 根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即

4、zi为负值。 系统稳定的充要条件：系统特征方程全部根的实部必须为负。或：系统传递函数的极点全部位于s复平面的左半部。 讨论：特征根中有一个或以上的根的实部为正 系统不稳定； 临界稳定：特征根中有部分为零或纯虚数，而其它根为负数。临界稳定系统属于不稳定。 若，则系统不稳定。 零点对稳定性无影响。零点仅反映外界输入对系统的作用，而稳定性是系统本身的固有特性。 稳定性判定方法： a) 直接求解出特征方程的根（高阶困难） b) 确定特征根在s平面上的分布： 时域：Routh 判据，胡尔维茨判据 频域：Nyquist 判据，Bode 判据 2 劳斯（劳斯（Routh）判据）判据 Routh 判据在特征方

5、程系数和根之间建立一定关系，以判别特征根分布是否具有负实部。 一、必要条件： 特征方程：B(s)= anpn+an-1pn-1+a1p+a0=0 必要条件：B(s)=0 的各项系数 ai符号均相同，且不等于 0; 或 an0 an-10 a10 a00 （证明） 二、充要条件：（Rough 稳定性判据）： 1、Rough 表：将特征方程系数排成两列： 偶：an an-2 an-4 an-6 奇：an-1 an-3 an-5 an-7 Rough 数列表：（p.124） sn an an-2 an-4 an-6 a0 sn- 1 an-1 an-3 an-5 an-7 a1 0 sn- 2 A1

6、 A2 A3 0 sn- 3 B1 B2 B3 0 s0 0 0 0 2、判据： Rough 列表中第一列各项符号均为正且不等于 0 若有负号存在，则发生负号变化的次数，就是不稳定根的个数。 例 1，已知系统特征方程 B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0 试判定其稳定性。 解： a4=1 a3=8 a2=17 a1=16 a0=5 (过程) ai0 （i=1，2，3，4，5）Rough 列表中第一列(1，8，15，13.3,5)均大于 0，故系统稳定。 例 2，已知系统特征方程 B(s)=s3-4s2+s+6=0 试判定其稳定性。 解：有一个负系数，不满足稳定的必要条件，有几个不稳

7、定的根？ (过程) 有二个负实根，实际上 s3-4s2+s+6=（s-2）(s+1)(s-3) 例 3，已知系统 试判定其稳定性。 解：B(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0 (过程) 符号改变二次，存在两个不稳定的根。 例 4， 设有系统方框图如下， 已知=0.2， n=86.6， 试确定 k 取何值时， 系统方能稳定。 (p.126图) (过程) 三、特殊情况： 1、Rough 列表中任一行第一项为 0，其余各项不为 0 或部分不为 0。 造成该行的下一行各项变为无穷大，无法进行 Rough 计算。 措施：以任一小正数代替 0 的那一项，继续计算。 例：B(s)=

8、s3-3s+2=0（求解） 若用代替后，系统 Rough 列表第一列均为正，临界稳定（共轭虚根） 用因式（s+a）乘特征方程两边，得新的特征方程，进行 Rough 计算后判断（A 为任意正数）。 例：B(s)=s3-3s+2=0（求解，取 a=3） 2、Rough 列表任一行全为 0。 原因：系统特征方程的根出现下列一种或多种情况时会发生。 具有相异符号的实数根（如 s=2）； 虚根时（如 s=j5）； 共轭复数根时（如） 解决： 利用全为 0 这一行的上一行的各项系数组成一个多项式方程 （辅助方程） ； 对辅助方程取导数得一新方程； 以新方程的系数取代全为 0 的哪一行，继续进行 Rough

9、 计算。 例：B(s)=s4+s3-3s2-s+2=0（求解） 例：B(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0（求解） 3 Nyquist 判据判据 时域判据的弱点：工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域判据不能应用；时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist 判据特点： 图解法：由几何作图判定系统稳定性； 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析法或实验法获得）； 可判断系统相对稳定性； 可指出各环节对系统稳定性的影响。 一、预备知识： 1、三种函数的零、极点关系：（Gk(s)、GB(s)、

10、F(s) ）(图 5.3.1) Gk(s)=G(s)H(s) F(s)=1+ G(s)H(s) zi：Gk(s)的零点； pi：Gk(s)的极点。 上述各函数零点和极点的关系：（p.131） 结论：闭环系统稳定充要条件为 GB(s)全部极点具有负实部F(s)函数的全部极点均具有负实部，即通过 Gk(s)= G(s)H(s)判断 GB(s)的稳定性。 2、映射概念： 设函数 F(s)=Re(s)+jIm(s) 而 s=+j 两个函数：F(s)，s 两个复平面：F(s)，s s上的每一个点对应F(s)上有一个映射的点，称为像点或映射轨迹。 例：已知 F(s)= s2，求 s=1+j2 的像点。 F

11、(s)= s2=（1+j2）2 =- 3+ j4 即s平面上点（1，j2）在F(s)复平面上的像点为- 3，j4(tu 2) 3、映射定理（幅角原理）： 设 F(s)为一有理数， 设 Ls为s平面上的一封闭曲线 （看成点的封闭轨迹） ， LF为F(s)平面上的对应曲线，则： Ls在F(s)平面上的映射轨迹 LF，也必然是一条封闭曲线。(tu 2) 若 Ls包围了 F(s)的 zi个零点和 pi个极点，则 Ls上某动点 s 沿 Ls顺时针方向转一周时，它在B(s)上的映射轨迹 LB将会顺时针方向包围 OB原点 N 次（N=z-p）。(tu 2) 二、Nyquist 判据： 1、映射定理的推广：

12、F(s)=1+ G(s)H(s) 为有理数，满足映射定理。 在s上，当 s 按顺时针方向沿整根虚轴（- j+j）及 R=的半径组成的封闭曲线Ls（实际上为s平面的右半部）转一周时，若虚轴上无 F(s)的极点，则在 Ls在F(s)平面上的映射轨迹 LF也将顺时针方向包围原点 OB共 N 次。(tu 2) 根据闭环系统稳定充要条件，特征方程 F(s)=0 的根均为负实数或实部为负的复数，即F(s)在s平面右半部无零点， 系统稳定下的映射为 N=-p 复平面下系统稳定的充要条件：若s虚轴上无 F(s)=1+ G(s)H(s)的极点，则当 s 沿- j+j按顺时针方向转一周时， 其在F(s)平面上的映

13、射轨迹 LF也将顺时针方向包围原点 OB共 N 次，系统才能稳定，否则就不稳定。 2、N=-p 含义的变通： N=-p 的实质就是利用特征函数 F(s)=1+ G(s)H(s)的零、极点分布来判定系统是否稳定，实用上不方便，希望判据建立在开环基础上。 含义变通：在 N=-p 中的 F(s)的极点数 p，理解为开环 G(s)H(s)的极点数； 将F(s)平面转换成G(s)H(s)平面； F(s)的原点就是G(s)H(s)的（-1，j0）点。 令 s=j，则 s 取值- j+j，变成取值-+。 通过上述转换，将 N=-p 含义重新引申为： N： 开环 G(s)H(s)轨迹包围 （-1， j0） 点

14、的次数， 即开环轨迹顺， 逆时针方向包围 （-1，j0）点次数之代数和。 P:开环 G(s)H(s)在s平面右半部的极点数。 2、Nyquist 判据： 充要条件：当取值-+时，其开环 G(j)H(j)轨迹必须逆时针包围（-1，j0）点 p 次，则系统稳定，否则就不稳定。 讨论：a) Nyquist 判据在GH平面上判断； 过程：s上 Nyquist 轨迹映射到GH上的 Nyquist 轨迹 G(j)H(j)，根据 G(j)H(j)包围（-1，j0）点的次数来判断系统的稳定性。 b)应用简单：一般开环系统为最小相位系统，p=0，故只需看开环 Nyquist 图是否包围（-1，j0）点，不包围则

15、稳定。若开环系统为非最小相位系统，p0（开环不稳定），则看 Nyquist 图是否逆时针包围（-1，j0）点 p 圈。 c)开、闭环稳定性关系： 开环不稳定，闭环可能稳定 开环稳定，闭环可能不稳定 d)绘制开环=0+的 Nyquist 图即可判断。 原因：开环 Nyquist 图对实轴对称。 三、对虚轴存在极点的处理： Nyquist 判据中规定开环 Gk(s)中不能含有 s=0 和 s=jk（k 为实数）的极点，否则，这些极点处的幅角是个不确定值，因而，这些点的映射轨迹也不确定。但工程上大多数 Gk(s)会含有 s=0 或 s=jk 的极点，此时，Nyquist 判据仍可使用，但需对 Ls曲

16、线修正。 四、应用举例： 1、开环稳定，判断闭环稳定性： Gk(s)在s右半部无极点，p=0，则=0+时 Gk(j)不包围（-1，j0）点，即 N=0，则系统稳定，否则就不稳定。 例 1， 0 型系统 例 2， 0 型系统 例 3，型系统 例 4，型系统 例 5，型系统 2、开环不稳定，判断闭环稳定性： 对 p0，若需闭环稳定，则 N=-p，即在取值-+时，Gk(j)逆时针包围（-1，j0）点 p 次。 例：高阶系统 四、典型环节对系统稳定性的影响： 1、比例环节 G(s)=k 若Gk(j)-180o, 则 k 无论如何变化，系统总是稳定的； Gk(j)-180o, 则 k Gk(j)随之增大，可能包围（-1，j0）点。 2、惯性环节 高频时（），G(j) -90o,增加了开环幅角Gk(j)的滞后，对系统稳定不利，惯性环节越多，系统越难稳定。 3、导前环节 G(s)=Ts+1 高频时（），G(j) +90o,减少了开环幅角Gk(j)的滞后，对系统稳定有利。 若系统需较多惯性环节时，用导前环节保持其稳定性。 4、积分环节 高低频均产生 90o滞后幅角，对系统稳定性影响大。积分环节越多，系