《复旦大学高等数学课件39二阶线性微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复旦大学高等数学课件39二阶线性微分方程（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 3 二阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程 一般形式一般形式: : 22( )( )( )d ydyp xq x yf xdxdx当当 f (x) = 0 时时, 二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程; ; 二阶非齐次线性微分方程。二阶非齐次线性微分方程。 n 阶线性微分方程阶线性微分方程 ( )(1)11( )( )( )( )nnnnyp x ypx yp x yf x 当当 f (x) 0 时时, 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构: : 1、二阶齐次线性微分方程解的结构、二阶齐次线性微分方程解的结构: ( )( )0yp x yq x y定理定理1: 若若 y1
2、(x) 和和 y2 (x) 是二阶齐次线性微分方程的解，是二阶齐次线性微分方程的解， 则它们的线性组合则它们的线性组合 12( )( )y xy x 也是该二阶齐次线性微分方程的解。也是该二阶齐次线性微分方程的解。 、 为常数，为常数， 问题问题: : 12( )( )yy xy x是否一定是通解是否一定是通解? ? 2 定理定理2: 若若 y1 (x) 和和 y2 (x) 是是 ( )( )0yp x yq x y在在 I 上的两个线性无关的解，上的两个线性无关的解， 是该二阶齐次线性微分方程的通解。是该二阶齐次线性微分方程的通解。 则则: : 1122( )( )yC y xC y x为常
3、数为常数 12CC、如如 0,yy 12cossinyxyx21tanyxy 常数常数 12.cossinGSyCxCx3 2、二阶非齐次线性微分方程解的结构、二阶非齐次线性微分方程解的结构: 定理定理: : 非齐次线性微分方程的通解等于非齐次线性微分方程的通解等于 该方程的一个特解加上相应的齐该方程的一个特解加上相应的齐 次线性微分方程的通解次线性微分方程的通解 yy y证明证明: : 22( )( )( )d ydyp xq x yf xdxdx设设 yyy 22( )( )0d ydyp xq x ydxdx22( )( )( )d ydyp xq x yf xdxdx 4 22()()
4、( )( )()( )dyyd yyp xq xyyf xdxdx 两式相加得两式相加得 yy 为非齐次线性微分方程的解，为非齐次线性微分方程的解， y又又 是相应齐次线性微分方程的通解，是相应齐次线性微分方程的通解， 包含两个任意常数，包含两个任意常数， yy 中也包含两个任意常数，中也包含两个任意常数， yy 为非齐次线性微分方程的通解。为非齐次线性微分方程的通解。 5 解的叠加原理解的叠加原理: : 若若 y1 (x) 和和 y2 (x) 分别是下列线性微分方程分别是下列线性微分方程 212( )( )( )d ydyp xq x yf xdxdx222( )( )( )d ydyp x
5、q x yfxdxdx则则 12( )( )y xy x 是线性微分方程是线性微分方程 2122( )( )( )( )d ydyp xq x yf xfxdxdx的解。的解。 的解的解, , 6 0ypyqy( )(1)11( )nnnnyp ypyp yf x ( )ypyqyf x定义定义: : n 阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 12,nppp为常数。为常数。 为常数；为常数； , p q二、二阶常系数齐次线性微分方程二、
6、二阶常系数齐次线性微分方程 为常数。为常数。 , p q7 二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性微分方程解法 -特征方程法特征方程法 0ypyqy将其代入上方程将其代入上方程, , 得得 ,xye 设设 2()0,xpq e 0,xe 20pq为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。 特征方程法与原微分方程比较：特征方程法与原微分方程比较： 8 1) 若若 20pq有两个不同的实根，有两个不同的实根， 记为记为 12&,原微分方程的两个特解原微分方程的两个特解: : 11( ),xy xe 22( ),xy xe 12, 12()12( )(
7、 )xy xey x 常数常数 则原微分方程的通解则原微分方程的通解: : 1212.xxyC eC e9 2) 若若 20pq有两个相同的实根，有两个相同的实根， 12,2p 记为记为 得到一个特解得到一个特解 1( ),xy xe 须找一个与须找一个与 y1 (x) 线性无关的特解线性无关的特解, 设为设为 y2 (x) , 即即 12( )( )y xyx 常数常数, , 设设 2( )( ),xy xu x e 代入原微分方程代入原微分方程 0,ypyqy并简化并简化 2( )(2) ( )() ( )0 xu xp u xpq u x e 0,u ( ),u xx 取取 2( ),x
8、y xxe 则原微分方程的通解则原微分方程的通解: : 12().xyCC x e 10 3) 若若 20pq有一对共轭复根有一对共轭复根 , i 1, i即即 2, i原微分方程的两个特解原微分方程的两个特解: : 11( )xy xe (),i xe 22( )xy xe (),i xe 显然显然 y1 (x)与与 y2 (x) 线性无关线性无关, 通解为通解为: : ()()12,i xi xyC eC e 复数形式，涉及复数运算，复数形式，涉及复数运算， 重新组合，变为实数形式。重新组合，变为实数形式。 由解的线性性得：由解的线性性得： 11 ()()12i xi xee 1()2xx
9、ixieee 1cossincos()sin()2xexixxix cosxex 也是原微分方程的特解；也是原微分方程的特解； 同理同理 ()()12i xi xeei 1cossincos()sin()2xexixxixi sinxex 也是原微分方程的特解；也是原微分方程的特解； 且且 cossinxxex ex 常数，常数， 则原微分方程的通解则原微分方程的通解: : 12(cossin)xyeCxCx 12 特征方程法特征方程法 由常系数齐次线性微分方程的由常系数齐次线性微分方程的 特征方程的根确定其通解的方法。特征方程的根确定其通解的方法。 例例1、求、求 22560d ydyydx
10、dx通解。通解。 例例2、求、求 690yyy通解。通解。 13 例例3、求、求 40yy 满足满足 (0)0(0)1yy 特解。特解。 n 阶常系数齐次线性微分方程解法阶常系数齐次线性微分方程解法 ( )(1)110nnnnyp ypyp y 标准形式标准形式 12,nppp为常数为常数, , 其特征方程为其特征方程为 1110nnnnppp 它在复数范围内恰它在复数范围内恰 n 有个根。有个根。 同样有同样有: : 14 1) 若若 是实的单重根，是实的单重根， k 个线性无关的解；个线性无关的解； 2) 若若 是实的是实的 k 重根，重根， 则则 是微分方程的是微分方程的 21,xxxk
11、xexex exe xe 则则 是微分方程的解；是微分方程的解； 3) 若若 是单重共轭复根，是单重共轭复根， i 则则 和和 是微分方程的解。是微分方程的解。 cosxex sinxex 15 4) 若若 是是 k 重共轭复根，重共轭复根， i 则则 cos,xex sin,xex cos,xxex sin,xxex 1cos,kxxex 1sin,kxxex 是微分方程的是微分方程的 2k 个线性无关的解，个线性无关的解， n 阶常系数齐次线性微分方程的通解阶常系数齐次线性微分方程的通解 1122( )( )( )( )nny xC y xC y xC yx16 (5)(4)(3)220y
12、yyyyy例例4、求、求 通解。通解。 17 思考题思考题: : 22lnyyyyy求求 通解。通解。 ( )ypyqyf xyyy 标准形式标准形式 由解的结构定理由解的结构定理 非齐次的通解非齐次的通解 齐次的通解齐次的通解 非齐次的特解非齐次的特解 常数变易法求特解常数变易法求特解 三、二阶常系数非齐次线性微分方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程 18 例例5、求、求 2212xd ydyyedxdxx通解。通解。 19 由于非齐次的一个特解与非齐次线性微分方程中由于非齐次的一个特解与非齐次线性微分方程中 的的 f (x) 的形式有着重要的关系，的形式有着重要的关系，如多项式、指数函数，
13、如多项式、指数函数， 正弦及余弦函数求若干次导数后不改变函数的形式。正弦及余弦函数求若干次导数后不改变函数的形式。 ( )( )xnf xu x e 1、 型型 ( )ypyqyf x二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 对应齐次方程对应齐次方程: : 0ypyqy通解结构通解结构: : yyy 常见类型常见类型: : ( )nu x( )xnu x e 方法方法: : 待定系数法待定系数法 n次多项式次多项式 特征根特征根? ? 20 设非齐方程特解为设非齐方程特解为 ( ),xyv x e 代入原方程得代入原方程得 2( )(2) ( )() ( )( )nvxp v
14、xpq v xu x1) 若若 不是特征方程的根，即不是特征方程的根，即 20,pqv (x) 必是必是 n 次多项式，次多项式， ( )( ) ,nv xvx 记记 ( );xnyvx e 可设可设 2) 若若 是特征方程的单根，是特征方程的单根， 但但 20,p ( )v x 必是必是 n 次多项式，次多项式， 记记 ( )( ),nv xxvx 可设可设 ( );xnyxvx e 20,pq即即 21 3) 若若 是特征方程的二重根，是特征方程的二重根， 2( )(2) ( )() ( )( )nvxp v xpq v xu x且且 20,p ( )vx 必是必是 n 次多项式，次多项式
15、， 记记 2( )( ),nv xx vx 可设可设 2( );xnyx vx e 综上讨论综上讨论: : ( ),ypyqyf x( )( ),xnf xu x e 可设可设 ( )mxnyx vx e n次多项式次多项式 012m 不不是是根根是是单单根根是是重重根根代入原方程用待定系数法求得特解。代入原方程用待定系数法求得特解。 20,pq即即 22 例例6、求、求 35621yyyxx通解。通解。 23 例例7、求、求 23(34 )xyyyx e通解。通解。 ( )( )cos( )sinxxnnf xu x ex or u x ex 2、 型型 (0) n 次多项式次多项式 设非齐
16、方程特解为设非齐方程特解为 ( )cos( )sinmxnnyx evxxvxx 1) 若若 不是特征方程的根时，不是特征方程的根时， i 0,m 2) 若若 是特征方程的单根时，是特征方程的单根时， i 1.m 24 例例8、求、求 sin3yyxx 通解。通解。 25 sin32cosyyxxx 求求 通解。通解。 例例9、设函数、设函数 连续，且满足连续，且满足 ( )x 00( )( )( ),xxxxett dtxt dt求求 ( ) .x 26 例例10、验证函数、验证函数 363( )13!6!(3 )!nxxxy xn(,)x 满足微分方程满足微分方程 xyyye利用此结果求利用此结果求 30(3 )!nnxn 的和函数。的和函数。
