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1、1 6 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 一、问题的提出一、问题的提出 事件发生的频率为什么能作为事件概率的估计？事件发生的频率为什么能作为事件概率的估计？ 样本均值为什么可以作为总体期望的估计？样本均值为什么可以作为总体期望的估计？ 在概率统计中，正态分布为什么极其重要？在概率统计中，正态分布为什么极其重要？ 统计推断的理论基础是什么？统计推断的理论基础是什么？ 2 设设 （即（即 ）为随机变量序列，）为随机变量序列， n 12,n 0, 若对于若对于 成立成立 定义：定义： lim()1nnP则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛依概率收敛于于 0， n 记为记为 0 .
2、n 设设 是随机变量，若是随机变量，若 0 ,Pn则称则称 依概率收敛于依概率收敛于 ，记为，记为 n .Pn定理定理（依概率收敛性质）：依概率收敛性质）： 设设 ,PnA ,PnB 且二元函数且二元函数 f 在点在点 ( (A , B) )处连续，处连续， 则则 (,)(,) .Pnnff A B3 二、大数定律二、大数定律 1、切比雪夫（、切比雪夫（Chebyshev）不等式：）不等式： 若随机变量若随机变量 具有数学期望具有数学期望 E 和方差和方差 D ， 0, 若对于若对于 成立成立 2()DPE 和和 2()1.DPE 切比雪夫不等式的意义：切比雪夫不等式的意义： 反映的是随机变量
3、反映的是随机变量 X 的取值落在其数学期望的的取值落在其数学期望的 邻域内的概率不小于邻域内的概率不小于 1-2/ 2 . 它的意义在于它的意义在于 当随机变量的数学期望和方差已知时，可以估当随机变量的数学期望和方差已知时，可以估 计随机变量计随机变量 X落在以数学期望为中心的某一区落在以数学期望为中心的某一区 间内的概率的一个下限。间内的概率的一个下限。 4 221()kkkxEp 证明：仅对离散型随机变量证明，证明：仅对离散型随机变量证明， 设设 是一个离散型随机变量，是一个离散型随机变量， 其分布律为其分布律为 ()(1,2,)kkPxpk 则则 ()()kkxEPEPx kkxEp 2
4、2()kkkxExEp 2211()kkkxEp 21D 且且 2()1()1.DPEPE 5 例例1、在每次试验中，事件、在每次试验中，事件 A 发生的概率为发生的概率为0.75，利用，利用 切比雪夫不等式，求切比雪夫不等式，求 n 需要多大时才能使得在需要多大时才能使得在 n 次次 重复独立试验中事件重复独立试验中事件 A 出现的频率在出现的频率在0.74 0.76之之 间的概率至少为间的概率至少为0.90 . 6 2、切比雪夫（、切比雪夫（Chebyshev）大数定律：）大数定律： 设设 是相互独立的随机变量序列是相互独立的随机变量序列 12,n （即对每个正整数（即对每个正整数 n 2
5、 , 是相互独立的）是相互独立的） 12,n 相应的数学期望依次为相应的数学期望依次为 12,nEEE方差依次为方差依次为 12,nDDD若若 (1,2,),iDL i 这里这里 L 是与是与 i 无关的常数，无关的常数， 0, 则对于则对于 成立成立 1111lim1nniiniiPEnn证明：证明： 相互独立，所以相互独立，所以 12,n 11niiDn 211niiDn 21nLn Ln 1niiE 11niiEn 7 由切比雪夫不等式得，由切比雪夫不等式得， 0, 对于对于 成立成立 11111nniiiiPEnn1211niiDn 21Ln 令令 n ，由极限的夹逼性得，由极限的夹逼
6、性得 1111lim1.nniiniiPEnn推论：推论： 2,(1,2,),iiEDi设设 是相互独立、具有相同分布的随机变量是相互独立、具有相同分布的随机变量 n 序列，且序列，且 0, 则对于则对于 成立成立 11lim1.niniPn 8 3、辛钦大数定律：、辛钦大数定律： 设设 是相互独立、具有相同分布的随机变量是相互独立、具有相同分布的随机变量 n 序列，且序列，且 (1,2,),iEi0, 则对于则对于 成立成立 11lim1.niniPn 4、Bernoulli大数定律：大数定律： 设设 为为 n 重重 Bernoulli 试验中事件试验中事件 A 发生的次数，发生的次数， 则
7、则当当 n 无限增大时，事件无限增大时，事件 A 发生的频率发生的频率 依依 n 依概率收敛于依概率收敛于 A 发生的概率发生的概率 ( ),pP A 0, 即对于即对于 成立成立 lim1.nPpn 9 大数定律的意义：大数定律的意义： 大数定律深刻地揭示了随机事件概率与频率间的大数定律深刻地揭示了随机事件概率与频率间的 关系，大数定律从大量独立重复试验中测量值的平均关系，大数定律从大量独立重复试验中测量值的平均 值出发，以严格的数学形式证明了平均值和频率的稳值出发，以严格的数学形式证明了平均值和频率的稳 定性，同时表达了这种稳定性的含义。定性，同时表达了这种稳定性的含义。 具有相同数学期望
8、和方差的独立随机序列的算术平均具有相同数学期望和方差的独立随机序列的算术平均值依概率收敛于数学期望。值依概率收敛于数学期望。 当当 n 足够大时，算术平均值几乎是一常数。足够大时，算术平均值几乎是一常数。 算术算术 均值均值 数学数学 期望期望 可近似可近似代替代替 10 例例2、设随机变量、设随机变量 X1, X2, ,Xn, 相互独立，服从相相互独立，服从相 同的分布，同的分布，E(Xi ) = 0， D(Xi ) = 2，且，且 4()(1,2,)iE Xi 存在，存在， 0, 对对 有有 2211lim1.niniPXn 试证明：试证明： 三、中心极限定律三、中心极限定律 1、独立同分
9、布的中心极限定理：、独立同分布的中心极限定理： 设设 是相互独立、服从同分布的随机变量序列，是相互独立、服从同分布的随机变量序列， n ,iE 且数学期望且数学期望 方差方差 2(1,2,),iDi则则 220111lim()( ).2tnxiniPxxedtn 这一定理可以得到如下结论：这一定理可以得到如下结论： 11()(0,1) ,niiXNn 近近似似条件，不论条件，不论 Xn服从什么分布，只要服从什么分布，只要 n 充分大，充分大， 21(,)nniiYXN nn 近近似似随机变量序列随机变量序列Xn满足独立同分布、方差存在的满足独立同分布、方差存在的 就有就有 211( ,)nii
10、XXNnn 近近似似12 例例3、计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最、计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最 接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立 的，且它们都在的，且它们都在 (-0.5, 0.5) 上服从均匀分布。上服从均匀分布。 1）若取）若取1500个数相加，问误差总和的绝对值超过个数相加，问误差总和的绝对值超过15的的 概率是多少？概率是多少？ 2）可将几个数加在一起使得误差总和的绝对值小于）可将几个数加在一起使得误差总和的绝对值小于10 的概率为的概率为0.90 ？ 13 2、棣莫弗、棣莫弗-Laplace积分极限定理
11、：积分极限定理： 设设 a, b (ab) 为常数，则当为常数，则当n充分大时，充分大时， ( ,),B n p 成立成立 00().bnpanpP abnpqnpq 其中其中 q = 1- p . 3、棣莫弗、棣莫弗-Laplace局部极限定理：局部极限定理： 设设 则当则当n充分大时，成立充分大时，成立 ( ,),B n p 2()2011().2k npnpqkknpPkpenpqnpqnpq 其中其中 q = 1- p . 14 中心极限定理的意义：中心极限定理的意义： 中心极限定理说明，即使有些原本并不服从正态中心极限定理说明，即使有些原本并不服从正态 分布的一些独立的随机变量，它们
12、的总和的分布渐近分布的一些独立的随机变量，它们的总和的分布渐近 地服从正态分布。一般来说，这些随机变量受到大量地服从正态分布。一般来说，这些随机变量受到大量 独立的因素中每项因素的影响是均匀的，微小的，没独立的因素中每项因素的影响是均匀的，微小的，没 有一项因素起特别突出的影响。那么这些随机变量的有一项因素起特别突出的影响。那么这些随机变量的 和的分布近似于正态分布。和的分布近似于正态分布。 15 例例4、从一大批发芽率为、从一大批发芽率为0.9 的种子中随意抽取的种子中随意抽取1000粒，粒， 试估计这试估计这1000粒种子发芽率不低于粒种子发芽率不低于0.88的概率。的概率。 例例5、假定
13、、假定100 00个同龄人参加人寿保险，在一年里这个同龄人参加人寿保险，在一年里这 些人死亡率为些人死亡率为0.1%，参加保险的人在一年的第一天，参加保险的人在一年的第一天 交付保险费交付保险费80元，死亡时，家属可从保险公司领取元，死亡时，家属可从保险公司领取 20 000元的抚恤金。求元的抚恤金。求 1）保险公司一年中获利不少于）保险公司一年中获利不少于60 000元的概率；元的概率； 2）保险公司亏本的概率是多少？）保险公司亏本的概率是多少？ 16 大数定律与中心极限定理有什么异同和联系：大数定律与中心极限定理有什么异同和联系： 大数定律与中心极限定理的相同点大数定律与中心极限定理的相同点 大数定律与中心极限定理的不同点大数定律与中心极限定理的不同点 大数定律与中心极限定理的联系大数定律与中心极限定理的联系
