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1、第七章计算机代数第七章计算机代数Computational AlgebraSymbolic ManipulationMachine Algebra71 引言 71 引言 数值计算系统 数值计算系统 Fortran 语言 例： X=1 Y=2 Z=X+Y Fortran 语言 例： X=1 Y=2 Z=X+Y 非数值计算系统 非数值计算系统 Mathematica 语言 例： 勒让德多项式定义 Mathematica 语言 例： 勒让德多项式定义 (1) LegendreP(1) LegendrePn n, ,x x 给出勒让德多项式 给出勒让德多项式 ( )nPx. (2) LegendreP
2、. (2) LegendrePn n, , m m, , x x 给出伴随勒让德多项式 给出伴随勒让德多项式 ( )()()( )/2211mmmmnnmdPxxPxdx= 也可以由用户采用递推公式定义：也可以由用户采用递推公式定义： Pn_, x_:= moduletemp, temp=0; If n=0, temp=1 , If n=1, temp=x , If n 1, temp=(2n-1) x Pn-1, x-(n-1) Pn-2, x)/n , Null , Null , Null ; temp 递推公式递推公式 ( )( )( )01121,(21)( )(1)( )/nnnPx
3、P xxPxnxPxnPxn= 表面上来看表面上来看，数值计算语言应当与计算机代数语言是本质上迥然不同的两种语言。其实，数值计算语言应当与计算机代数语言是本质上迥然不同的两种语言。其实，两者在本质上是完全一致的两者在本质上是完全一致的。这是因为目前我们使用的计算机仍然是一种二进制的数字计算处理机。文字、字符或符号都只能通过二进制编码才能用计算机进行处理。这是因为目前我们使用的计算机仍然是一种二进制的数字计算处理机。文字、字符或符号都只能通过二进制编码才能用计算机进行处理。 由于这种本质联系由于这种本质联系，所有的数值算法语言经过改造加工以后，都可以发展为计算机代数语言，或者说可以具有非数值处理
4、功能。 所有的数值算法语言经过改造加工以后，都可以发展为计算机代数语言，或者说可以具有非数值处理功能。 所谓计算机代数处理系统实际上是指硬件和软件的综合。 所谓计算机代数处理系统实际上是指硬件和软件的综合。 常用的计算机代数系统： 常用的计算机代数系统： 1. MACSYMA。它是用 LISP 语言的一种功能很强的方言MACSYMA。它是用 LISP 语言的一种功能很强的方言Franz LispFranz Lisp 写成的。 它是一个通用的计算机代数系统。写成的。 它是一个通用的计算机代数系统。（2） REDUCE。它是由赫恩(A.C. Hearn)设计的。该语言是用（2） REDUCE。它是
5、由赫恩(A.C. Hearn)设计的。该语言是用 SLISP (Standard LISP)SLISP (Standard LISP)写成的,通用的代数处理系统写成的,通用的代数处理系统，具有相当广泛的基本代数处理功能具有相当广泛的基本代数处理功能，并能处理高能物理的计算问题。并能处理高能物理的计算问题。 （3） Mathematica。 该系统是美国 Wolfram 公司开发的一个功能强大的计算机通用数学系统。 其基本系统主要是用（3） Mathematica。 该系统是美国 Wolfram 公司开发的一个功能强大的计算机通用数学系统。 其基本系统主要是用 C 语言C 语言开发的。 它是当前
6、运用十分广泛的符号代数处理系统。 开发的。 它是当前运用十分广泛的符号代数处理系统。 (4) Maple. 这是一个商业产品。 其优点是使用图形用户界面并支持一些复杂运算， 如： 因式分解，积分或求和。缺点是 Maple 不适用于处理大量数据。 (5) GiNaC: 这是用(4) Maple. 这是一个商业产品。 其优点是使用图形用户界面并支持一些复杂运算， 如： 因式分解，积分或求和。缺点是 Maple 不适用于处理大量数据。 (5) GiNaC: 这是用 C+C+的符号计算库。它的主要特征是具备以面向对象的方式实现用户自己的算法的能力。它能处理大量数据，在基准测试下，其运算速度可与下面的
7、FORM 相当。的符号计算库。它的主要特征是具备以面向对象的方式实现用户自己的算法的能力。它能处理大量数据，在基准测试下，其运算速度可与下面的 FORM 相当。 (6)SCHOONSCHIP。 这是很著名的粒子物理研究用的计算机代数系统。 它也能做一般的代数运算， 是目前为止运行速度最快的系统。 该程序是用 CDC 型 60 位计算机和6800 系列计算机的SCHOONSCHIP。 这是很著名的粒子物理研究用的计算机代数系统。 它也能做一般的代数运算， 是目前为止运行速度最快的系统。 该程序是用 CDC 型 60 位计算机和6800 系列计算机的汇编语言汇编语言写成的，因而大大限制了它适用的机
8、型。 (7)FORM: 优点是运算速度高和具有处理大量数据的能力。 它被广泛运用于高能物理和涉及大型中间表达式的程序。 人们普遍认为它是 SCHOONSCHIP 系统的后继程序 写成的，因而大大限制了它适用的机型。 (7)FORM: 优点是运算速度高和具有处理大量数据的能力。 它被广泛运用于高能物理和涉及大型中间表达式的程序。 人们普遍认为它是 SCHOONSCHIP 系统的后继程序 计算机代数系统的发展历史:计算机代数系统的发展历史: ? 二十世纪六十年代二十世纪六十年代最早的计算机代数系统几乎完全是基于 LISP表处理语言最早的计算机代数系统几乎完全是基于 LISP表处理语言.它是用来处理
9、表链的。它对于早期符号计算程序的重要性，就好比同一时期处理数值计算的程序 FORTRAN 系统。在这个阶段，REDUCE 程序对高能物理已经表现出一些特殊的用途。 .它是用来处理表链的。它对于早期符号计算程序的重要性，就好比同一时期处理数值计算的程序 FORTRAN 系统。在这个阶段，REDUCE 程序对高能物理已经表现出一些特殊的用途。 ? SCHOONSCHIP 是 M. Veltman 用SCHOONSCHIP 是 M. Veltman 用汇编语言汇编语言写的，专门应用于粒子物理领域。汇编代码的应用导致了难以置信的高速计算程序（相对于最初的解释代码） ，从而使计算更复杂的高能物理散射过程
10、成为可能。由于人们逐渐认识到这个程序的重要性，因而，写的，专门应用于粒子物理领域。汇编代码的应用导致了难以置信的高速计算程序（相对于最初的解释代码） ，从而使计算更复杂的高能物理散射过程成为可能。由于人们逐渐认识到这个程序的重要性，因而，1998 年M.Veltman 因此获得了诺贝尔物理奖。 1998 年M.Veltman 因此获得了诺贝尔物理奖。 ? 同时值得一提的是基于 Franz LISP 的 MACSYMA 系统，它引发了算法的重要发展。 同时值得一提的是基于 Franz LISP 的 MACSYMA 系统，它引发了算法的重要发展。 ? 从 1980 年以来,从 1980 年以来,新
11、的计算机代数系统开始采用 C 语言编写新的计算机代数系统开始采用 C 语言编写。这样的系统与解释语言 LISP 相比。这样的系统与解释语言 LISP 相比，能够更好的利用计算机资源能够更好的利用计算机资源，并能保持程序的可移植性，而这正是解释语言所做不到的。 并能保持程序的可移植性，而这正是解释语言所做不到的。 ? 这 个 时 期 还 出 现 了 最 早 的这 个 时 期 还 出 现 了 最 早 的 商 业 计 算 机 代 数 系 统商 业 计 算 机 代 数 系 统 ， 其 中Mathematica 和 Maple 最为著名。 另外， 其 中Mathematica 和 Maple 最为著名。
12、 另外， 少量的专用程序也出现了， J.Vermaseren 编写的 FORM 就是一个用于粒子物理研究的程序。它是可移植的，并认为是 SCHOONSCHIP 系统的后继程序。 少量的专用程序也出现了， J.Vermaseren 编写的 FORM 就是一个用于粒子物理研究的程序。它是可移植的，并认为是 SCHOONSCHIP 系统的后继程序。 ? 近几年，有关近几年，有关大型程序可维护性的问题大型程序可维护性的问题变得越来越重要。全部的设计范例都由过程设计变到了面向对象设计。反映在编程语言上从 C 变到 C+。这样 GiNaC 库随之发展起来，它支持 C+环境下的符号计算。 变得越来越重要。全
13、部的设计范例都由过程设计变到了面向对象设计。反映在编程语言上从 C 变到 C+。这样 GiNaC 库随之发展起来，它支持 C+环境下的符号计算。 7.2 粒子物理研究中计算机代数的应用 7.2 粒子物理研究中计算机代数的应用 ? 利用计算机代数系统使微扰计算步骤自动化。 利用计算机代数系统使微扰计算步骤自动化。 ? 粒子物理是应用计算机代数的一个重要领域， 它充分发挥了计算机代数系统的潜力。 粒子物理是应用计算机代数的一个重要领域， 它充分发挥了计算机代数系统的潜力。 SCHOONSCHIP, REDUCE, Mathematica, FORM 和和 GiNaC ? 采用计算机代数系统来计算的
14、复杂量子场论问题可以分为两类： (1)第一类问题是仅仅只需要系统的基本支持的计算。 采用计算机代数系统来计算的复杂量子场论问题可以分为两类： (1)第一类问题是仅仅只需要系统的基本支持的计算。 (2)复杂的计算方法。既可以采用标准化的非局部操作也可以采用针对特定问题的计算算法，如采用由用户发展起来的专用算法。 (2)复杂的计算方法。既可以采用标准化的非局部操作也可以采用针对特定问题的计算算法，如采用由用户发展起来的专用算法。 有关粒子物理研究中微扰计算的计算机代数算法: 有关粒子物理研究中微扰计算的计算机代数算法: 一、图形产生 一、图形产生 Thomas Hahn, FeynArts 以 F
15、eynArts 程序包为例：使用时 以 FeynArts 程序包为例：使用时，首先加载该程序包：FeynArts.m （或 init.m 文件） 一旦用户给定初、末态粒子，微扰计算的阶数，适当的模型，利用 FeynArts 就可以得到非零贡献的费曼图。用如下函数的操作指令就可以得到费曼图. 首先加载该程序包：ModelexttopdsInsertFiel 将 将2mod, 1mod, ,模型中的场加到外腿数为模型中的场加到外腿数为 ext 的拓扑 top 中去。 （3）的拓扑 top 中去。 （3）intexprPa 在屏幕上画出 在屏幕上画出 InsertFields 输出输出 expr 的
16、费曼图形。 二、费曼幅度和指标收缩计算 FeynArts 程序包中，采用函数 的费曼图形。 二、费曼幅度和指标收缩计算 FeynArts 程序包中，采用函数 CreateFeynAmpexpr 将 将InsertFields函数输出函数输出expr的一组费曼图产生对应的解析幅度。 的一组费曼图产生对应的解析幅度。 图形与幅度的转换过程是按照费曼图图形技术中所对应的规则进行的： 图形与幅度的转换过程是按照费曼图图形技术中所对应的规则进行的： 外线对应自由波函数外线对应自由波函数， 内线对应着传播函数内线对应着传播函数， 顶点对应相互作用顶点。 顶点对应相互作用顶点。 例:协变规范中的例:协变规范中的胶子传播函数胶子传播函数的规则和的规则和夸克-胶子作用顶点夸克-胶子作用顶点的规则： 的规则： ()abkkkgki=221 aijTig= 由上面的费曼规则得到的不变振幅的表达式中将包含了重复指标求和。 由上面的费曼规则得到的不变振幅的表达式中将包含了重复指标求和。 例如:洛仑兹指标的收缩可以通过不断运用以下几个规则来实现： 例如:洛仑兹指标的收缩可以通过不断运用以下几个规则来实现： ggg
