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1、杨维纮杨维纮杨维纮杨维纮第六章第六章 角动量定理角动量定理在描述转动的问题时，我们需要引进另一个物在描述转动的问题时，我们需要引进另一个物理量理量角动量角动量。这一概念在物理学上经历了一段。这一概念在物理学上经历了一段有趣的演变过程。有趣的演变过程。1818世纪在力学中才定义和开始利世纪在力学中才定义和开始利用它，直到用它，直到 1919世纪人们才把它看成力学中的最基世纪人们才把它看成力学中的最基本的概念之一，到本的概念之一，到 2020世纪它加入了动量和能量的世纪它加入了动量和能量的行列，成为力学中最重要的概念之一。角动量之所行列，成为力学中最重要的概念之一。角动量之所以能有这样的地位，是由
2、于它也服从守恒定律，在以能有这样的地位，是由于它也服从守恒定律，在近代物理学中其运用是极为广泛的。近代物理学中其运用是极为广泛的。6.1 孤立体系的角动量守恒6.1 孤立体系的角动量守恒第第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量章我们介绍了与平动相联系的守恒量动量，对于转动我们希望能找到这样一个物理动量，对于转动我们希望能找到这样一个物理量量角动量，它具备以下的条件：角动量，它具备以下的条件：1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非零值表示质点关于该空间点作转动；它取非零值表示质点关于该空间点作转动；2. 对于孤立体系，它保持守恒。对于孤立体系，
3、它保持守恒。下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。6.1.1 单质点孤立体系和掠面速度单质点孤立体系和掠面速度单质点的孤立体系就是不受外力单质点的孤立体系就是不受外力作用的自由质点，它作匀速直线运动作用的自由质点，它作匀速直线运动（我们取惯性参考系，且静止看成是（我们取惯性参考系，且静止看成是匀速直线运动的特例）。匀速直线运动的特例）。如图，设该质点位于如图，设该质点位于P点，沿直点，沿直线线 AB 从从 A 向向 B 方向运动，在相等的方向运动，在相等的时间间隔时间间隔 t的位移是的位移是 s = vt。我们在我们在 AB 上取一个参考点上取一个参考点
4、Q，随着，随着 P 点的运动，由于点的运动，由于QP 的方向不发生改变，故的方向不发生改变，故 P 点相对于点相对于 Q 点没有转动。但如果点没有转动。但如果参考点取不在参考点取不在 AB 上的点，譬如上的点，譬如 O 点，由于点，由于 OP 的方向（即的方向（即 r 的方向）在不断改变，故的方向）在不断改变，故 P 点相对于点相对于 O 点有转动。我们现在来点有转动。我们现在来寻找守恒量。寻找守恒量。6.1.1 单质点孤立体系和掠面速度单质点孤立体系和掠面速度常量=sin21sin21rvtsrS该式也可以换一种表达法，即掠面速该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微商为零：度对时间的微
5、商为零：0=dtdS6.1.1 单质点孤立体系和掠面速度单质点孤立体系和掠面速度考虑多个质点，仅考虑某一个平考虑多个质点，仅考虑某一个平面就不行了，我们可以利用矢量运面就不行了，我们可以利用矢量运算法则，将掠面速度定义为与该平算法则，将掠面速度定义为与该平面垂直的矢量。即：面垂直的矢量。即：12=Srv这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量是掠这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量是掠面速度矢量面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若参考点选在。当然，它与参考点的选择有关，若参考点选在直线直线 AB 上，则掠面速度为零。上，则掠面速度为零。6.1.2 两个质点的孤立体系和角动
6、量两个质点的孤立体系和角动量对于两个质点的孤立体系，它们虽对于两个质点的孤立体系，它们虽然不受外力作用，但两个质点之间是有然不受外力作用，但两个质点之间是有作用力的。我们现在来寻找守恒量，首作用力的。我们现在来寻找守恒量，首先我们能想到的是它们每个质点掠面速先我们能想到的是它们每个质点掠面速度的和。为此，在空间建立惯性参考系，度的和。为此，在空间建立惯性参考系，如图，两个质点的质量分别为如图，两个质点的质量分别为 m1, m2，其位矢和速度分别为其位矢和速度分别为 r1, r2 和和 v1, v2。设。设其掠面速度分别为其掠面速度分别为 S1, S2，有：，有：11112=Srv22212=S
7、rv6.1.2 两个质点的孤立体系和角动量两个质点的孤立体系和角动量而掠面速度对时间的微商为：而掠面速度对时间的微商为：1122iiiiiddddtdtdt=+Srvvr1122iiiiddt=+vvvr12iiddt=vr其中其中 i =1, 2。为了对上式中的。为了对上式中的 i 求和，求和，我们列出质点运动的牛顿方程：我们列出质点运动的牛顿方程：11dmdt=12vff221dmdt= 2vff111111122dddtdtm=Svrrf222221122dddtdtm= Svrrf120dddtdt+SS因因 m1, m2 可以为任意值，故可以为任意值，故6.1.2 两个质点的孤立体系
8、和角动量两个质点的孤立体系和角动量但从前几式可看出：但从前几式可看出：112212(22)()0dmmdt+=SSrrf其中利用了牛顿第三定律：其中利用了牛顿第三定律：f 的方向的方向沿两质点沿两质点 m1, m2 的连线，即的连线，即 f / (r1r2 )。于是我们找到了守恒量：。于是我们找到了守恒量：112222mm=+LSS11 1222mm=+=rvrv常矢量6.1.2 两个质点的孤立体系和角动量两个质点的孤立体系和角动量称为称为单个质点对于原点的角动量单个质点对于原点的角动量或或动量矩动量矩；定义定义：m=lrvrpiiiiiiiiim=Llrvrp称为称为体系对于原点的角动量体系
9、对于原点的角动量或或动量矩动量矩。由上述的推导可知：由上述的推导可知：两个质点孤立体系的角动量守恒。两个质点孤立体系的角动量守恒。对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结论，我们在下一节介绍。论，我们在下一节介绍。6.2 质点系角动量定理6.2 质点系角动量定理6.2.1 质点角动量定理质点角动量定理我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点的角动量我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。在惯性参考系如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。在惯性参考系中考虑一个受力为中考虑一个受力为
10、F 的质点，设其矢径为的质点，设其矢径为 r，动量为，动量为 p，角动量，角动量为为 l，有：，有：, dmdt=pFlrvrp角动量对时间的变化率为：角动量对时间的变化率为：()dddtdt=lrpdddtdt=+ rppr=+ vprF= r F定义定义：M = rF 称为称为力力 F 对于原点的力矩对于原点的力矩。6.2.1 质点角动量定理质点角动量定理ddt=lM即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。这就是矩。这就是质点角动量定理质点角动量定理的微分形式。对上式积分，得：的微分形式。对上式积分，得： 0 0t
11、dt = Mll力矩对时间的积分力矩对时间的积分称为称为冲量矩冲量矩。上式表示质点角动量的。上式表示质点角动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的积分形式。增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的积分形式。 0tdtM不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写成分量不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写成分量形式。形式。6.2.1 质点角动量定理质点角动量定理例例6-1：讨论行星运动性质：讨论行星运动性质解解：取太阳为原点建立坐标系，设太阳和行星的质量分别为：取太阳为原点建立坐标系，设太阳和行星的质量分别为m2， m1，利用约化质量，利用约化质量 = m1m2/(m1
12、+ m2) ，就可以将该参考，就可以将该参考系视为惯性系，则行星受到的力矩为系视为惯性系，则行星受到的力矩为 M = rF = 0，故，故 l = rv = 不变量，或掠面速度不变量，或掠面速度 S = rv/2 = 不变量。故有：不变量。故有：1. 行星轨道是一条平面曲线。（因行星轨道是一条平面曲线。（因 S 的方向不变）的方向不变）2. 行星与太阳的连线单位时间扫过的面积为常量。行星与太阳的连线单位时间扫过的面积为常量。（因（因 S 的大小不变）的大小不变）6.2.2 质点系角动量定理质点系角动量定理设体系有设体系有 n 个质点。个质点。111213122122323313233123(1
13、)nnnnnnnn nn=+=+=+=+pFfffpfFffpffFfpffffF?, iiiiiiim=lrvMrF()iiiiiiiiiddddddtdtdtdtdt=+=lrpprpprr6.2.2 质点系角动量定理质点系角动量定理用用 ri第第 i 个方程，得：个方程，得：12(1)(1)iiiii ii iinddt+=+lMMMMMM?由牛顿第三定律知：由牛顿第三定律知：/()ijijfrr于是可得：于是可得：()0ijjiiijjjiijij+=+=MMrfrfrrf1212()nnddt+=+lllMMM?12n令：令：=+Llll?则则 L 为体系的总角动量，为体系的总角动量
14、，M 为体系所受的总外力矩。为体系所受的总外力矩。ddt=LM12n=+MMMM?6.2.2 质点系角动量定理质点系角动量定理6.2.2 质点系角动量定理质点系角动量定理ddt=LM即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外力对该点力矩之和。这就是有外力对该点力矩之和。这就是体系角动量定理的微分形式体系角动量定理的微分形式。角动量定理的积分形式：角动量定理的积分形式： 0 0tdt =MLL角动量守恒定律：角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和当外力对给定点的总外力矩之和为零时，体系的角动量守恒。为零时，体系的角动量守
15、恒。角动角动量守恒定量守恒定律可以解律可以解释星系的释星系的圆盘形结圆盘形结构。构。银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这其它星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下个角动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（r2=常量）要求转速随常量）要求转速随 r 的减小而增大的减小而增大r
16、-2，因，因而使离心力增大（离心力而使离心力增大（离心力v2/r = r2r -3），它往往），它往往比引力增大（引力比引力增大（引力r -2）得更快，最终引力会和离心）得更快，最终引力会和离心力相互平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴力相互平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。6.3 质心系的角动量定理6.3 质心系的角动量定理6.3.1 质心系的角动量定理质心系的角动量定理由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所以以角动量定理在惯性系中才成立角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑。当在质心系中考虑体系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定体系相对质心的角动量随时间的
