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1、 A-1 指标符号指标符号附附A A 张量分析张量分析例例如如, , 三三维维空空间间任任意意一一点点P P在在笛笛卡卡儿儿坐坐标系标系用指标符用指标符号表示为号表示为i指标指标取值范围为小于或等于取值范围为小于或等于n n的所有正整数的所有正整数n维数维数 数数变量变量指标符号指标符号一、一、求和约定求和约定和哑指标和哑指标 A-1 指标符号指标符号A A 张量分析张量分析约定约定求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次指标范围用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维二、自由指标二、自由指标 筒写为筒写为筒写为筒写为 j 哑指标哑指标哑指标哑指标i自由指标自由指标自由指标自由指标，在每一项中只出现
2、一次，一个公式中必须相同 A-1 指标符号指标符号三、三、Kronecker- 符号符号和和置换置换符符号号( (RicciRicci符号符号) )Kronecker- 符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号三三、Kronecker- 符符号号和和置置换换符符号号( (RicciRicci符号符号) )Kronecker- 符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的直角坐标系的基矢量基矢量基矢量基矢量 三、三、Kronecker- 符号符号和和置换置换符符号号( (RicciRicci符号符号) )RicciRicci符号符号定义定义 A-1 指标符号指
3、标符号偶次置换奇次置换三、三、Kronecker- 符号符号和和置换置换符符号号( (RicciRicci符号符号) )RicciRicci符号符号定义定义 A-1 指标符号指标符号Kronecker-Kronecker- 和和RicciRicci符号符号的关系的关系A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 在三维空间中在三维空间中在三维空间中在三维空间中, , 任意矢任意矢任意矢任意矢量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基量都可以表示为三个基矢量的线性组合矢量的线性组合矢量的线性组合矢量的线性组合 a ai i i i为矢量为矢量为矢量为矢量a a在基矢量在基矢量在
4、基矢量在基矢量e ei i i i下的分解系数下的分解系数下的分解系数下的分解系数, , , , 也称矢量也称矢量也称矢量也称矢量的分量的分量的分量的分量 一一、矢量点积、矢量点积 A A 张量分析张量分析A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 一一、矢量点积、矢量点积 二、矢量二、矢量叉积叉积 A A 张量分析张量分析A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 二、矢量二、矢量叉积叉积 A A 张量分析张量分析证明证明证明证明A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 二、矢量二、矢量叉积叉积 A A 张量分析张量分析三三、矢量、矢量的混合的混合积积 A-A-2 2 矢量的基本运算
5、矢量的基本运算 Ricci符号符号A A 张量分析张量分析四四、矢量、矢量的并乘的并乘(并矢并矢) A-A-2 2 矢量的基本运算矢量的基本运算 A A 张量分析张量分析并乘并乘A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 A A 张量分析张量分析坐标变换坐标变换坐标变换坐标变换式式式式A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 A A 张量分析张量分析互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵互逆、正交矩阵基基基基矢量变换矢量变换矢量变换矢量变换式式式式任意向任意向任意向任意向量变换量变换量变换量变换式式式式A A 张量分析张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标
6、变换与张量的定义 坐标坐标坐标坐标变换变换变换变换系数系数系数系数张量的定义张量的定义在坐在坐在坐在坐标标标标系系系系变换时变换时变换时变换时, , , ,满满满满足如下足如下足如下足如下变换变换变换变换关系的量称关系的量称关系的量称关系的量称为张为张为张为张量量量量 张张张张量的量的量的量的阶阶阶阶自由指自由指自由指自由指标标标标的数目的数目的数目的数目不变性记法不变性记法不变性记法不变性记法 A A 张量分析张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 一一、加、加( (减减) )法法 二、矢量与张量的点积二、矢量与张量的点积( (点乘点乘) ) 左点乘左点乘左点乘左点乘
7、 A A 张量分析张量分析A-3A-3 坐标变换与张量的定义坐标变换与张量的定义 矢量与张量点乘的结果仍为张量矢量与张量点乘的结果仍为张量, ,新新张张量量b b比原比原张张量量 T T的的阶阶数降低数降低一一阶阶 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 右右右右点乘点乘点乘点乘 对对称称张张量量两两者才相等者才相等A A 张量分析张量分析三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 左左左左叉叉叉叉乘乘乘乘 A A 张量分析张量分析矢量与张量叉乘的结果仍为张量矢量与张量叉乘的结果仍为张量, , 新张量与原新张量与原张量同阶张量同阶 右叉右叉右叉右叉
8、乘乘乘乘 三三、矢量与张量的、矢量与张量的叉叉积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析四四、两个两个张量的张量的点点积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 2 2 两个两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量, ,这这相当于矩阵相乘相当于矩阵相乘 五五、张量的、张量的双点双点积积 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析两个张量点积的结
9、果仍为张量。新张量的阶数是两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减原两个张量的阶数之和减 4 4 六六、张量的、张量的双叉乘双叉乘 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析七七、张量的、张量的缩并缩并 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析在张量的不变性记法中在张量的不变性记法中, , 将某两个基矢量点乘将某两个基矢量点乘, , 其结果是一个较原张量低二阶的新张量其结果是一个较原张量低二阶的新张量, , 这种运这种运算称为缩并算称为缩并 八八、指指标标置置换换 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A
10、张量分析张量分析若对该张量的分量中任意两个指标交换次序若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, , 得得到一个与原张量同阶的新张量到一个与原张量同阶的新张量 九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析若若张张量量的的任任意意两两个个指指标标经经置置换换后后所所得得的的张张量量与与原原张张量量相相同同, 则则称称该该张张量量关关于于这这两两个个指指标标为为对对称称, , 若若与与原原张张量量相相差差一一符符号号, , 则则称称该张量关于这两个指标为反称。该张量关于这两个指标为反称。有有6 6个独立分量个独立分量 有有3 3个独立
11、分量个独立分量 九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析对对对对称称称称化化化化：对对已知已知张张量的量的N N个指个指标进标进行行N!N!次不同的置次不同的置换换, , 并取所得的并取所得的N!N!个新个新张张量的算量的算术术平均平均值值的运算的运算。其其结结果果张张量关于参与置量关于参与置换换的指的指标为对标为对称。将指称。将指标标放放在在圆圆括弧内表示括弧内表示对对称化运算称化运算。九九、对称、对称化和化和反反对称化对称化 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析反称化反称化反称化反称化:
12、: : : 对对已知已知张张量的量的 N N 个指个指标进标进行行N!N!次不同的次不同的置置换换, ,并将其中指并将其中指标经过标经过奇次置奇次置换换的新的新张张量取反号量取反号, ,再求算再求算术术平均平均值值, , 这这种运算称种运算称张张量的反称化量的反称化, ,其其结结果果张张量关于参与置量关于参与置换换的指的指标为标为反称。将指反称。将指标标放在方括放在方括弧内表示反称运算弧内表示反称运算。 十十、商法则商法则 若在某坐若在某坐标标系中按某系中按某规规律律给给出出 33=27 个数个数 A(ijk), 且且A(ijk)bk=Cij, 其中其中bk 是与是与A(ijk)无关的任意矢量
13、无关的任意矢量 , , Cij是是张张量量 , , 那么那么 , A(ijk)必必为为比比Cij高一高一阶阶的的张张量。量。 A-4A-4 张量的代数运算张量的代数运算 A A 张量分析张量分析用于判定某些量的张量性！用于判定某些量的张量性！A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析B B的作用如同一个算子的作用如同一个算子, , 它使空它使空间间内每一个向量内每一个向量变换变换为为另一个向量另一个向量, , 或者或者说说 B B 能把一个向量空能把一个向量空间间映射映射为为另一向量空另一向量空间间。 A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张
14、量分析张量分析一一、仿射量的转置、仿射量的转置B BT T 对称张量对称张量对称张量对称张量 反反反反对称张量对称张量对称张量对称张量 A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析一一、仿射量的转置、仿射量的转置B BT T 和和和和b b b b为任意向量为任意向量为任意向量为任意向量 A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）一一、仿射量的、仿射量的逆逆B B-1-1 A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 对对于于仿仿射射量量B, B, 若
15、若存存在在三三个个相相互互垂垂直直的的方方向向i,ji,j, ,k k, , 其其映映象象 Bi,Bj,BkBi,Bj,Bk也也相相互互垂垂直直, , 则则称称该该三三个个方方向向为为 B B 的的主主向向。对对称称仿仿射射量量T T 必必存存在在三三个个主主向向和三个相和三个相应应的主的主值值。主。主值值S S 满满足如下特征方程。足如下特征方程。A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和
16、主值值 三、三、对称对称仿射量的主向和主仿射量的主向和主值值 笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标笛卡儿坐标 A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）A A 张量分析张量分析A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张张量量 各向同性张量各向同性张量各向同性张量各向同性张量在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时在坐标任意变换时, , , , 各分量保持各分量保持各分量保持各分量保持不变的张量不变的张量不变的张量不变的张量 零阶张量零阶张量( (标量标量) )总是各向同性的。一阶张量总是各向同性的。一阶张量( (即矢量即矢量) ) 总不是各向同性的。对于对称二阶张量总不是各向同性的。对于对称二阶张量T,T,如果其如果其三个主值相等三个主值相等, , 即即S S1 1=S=S2 2=S=S3 3=,=,则是各向同性的。则是各向同性的。 A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四四、各向同性各向同性张张量量 证明：证明：证明：证明：(1)4个指标都相同的分量有3个A-5A-5 二阶张量（仿射量）二阶张量（仿射量）四
