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1、高中数学常用公式及结论大全(新课标 )必修 11、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为：元素|元素的特征，例如 x| x5,且xN2、常用数集及其表示方法1自然数集N又称非负整数集：0、1、2、3、2正整数集N*或N+：1、2、3、3整数集Z：-2、-1、0、1、4有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等5实数集R：全体实数的集合6空集 ：不含任何元素的集合3、元素与集合的关系：属于，不属于例如：a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA 4、集合与集合的关系：子集、真子集、
2、相等1子集的概念如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如图1)，记作AB或BA.假设集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，BA或A,B记作PQ(图 1)2真子集的概念假设集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的BA真子集(如图2).AB或BA.( 图 2)3集合相等：假设集合A中的元素与集合B中的元素完全相同那么称集合A等于集合B,记作A=B.AB,BAAB5、重要结论1传递性：假设AB ，BC ，那么AC2空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.6、含有n个元素的集合,它的子集个数共有2n个；真子集有2n
3、1个；非空子集有2n1个(即不计空集)；非空的真子集有2n2个.7、集合的运算：交集、并集、补集AB1一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作 AB读作 A交 B，即 A B=x|x A，且 x B2一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并AB集记作AB读作A并B，即AB=x|xA，或xB3假设A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作CU A,CU Ax |xU,且xACU AA注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A的情况。8、映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B
4、的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中xA，yB.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合CCB叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数，有时简记作函数f(x).9、分段函数：在定义域的不同局部，有不同的对应法那么的函数。如2x1x0y2x3x010、求函数的定义域的原那么：解决任何函数问题，必须要考虑其定义域分式的分母不为零；如 : y1,那么x10x1偶次方根的被开方数大于或等于零；如: y5x,那么5x0对数的底数大于且不等于；如: yloga(x2), 那么a0且a1对数的真数大于；如: yloga (x2),那么x20指数为的底不
5、能为零；如 : y(m1) x ,那么m1011、函数的奇偶性在整个定义域内考虑1奇函数满足2偶函数满足f(x)f(x)f ( x) ， 奇函数的图象关于原点对称；f(x)，偶函数的图象关于y轴对称；注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;假设奇函数在原点有定义, 那么f(0)0根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。12、函数的单调性在定义域的某个区间内考虑当x1x2时，都有当x1x2时，都有f (x1 )f (x1 )f ( x2) ，那么f(x2) ，那么f (x) 在该区间上是增函数，图象从左到右上升；f (x) 在该区间上是减函数，图象从左
6、到右下降。函数 f( x) 在某区间上是增函数或减函数，那么说f (x) 在该区间具有单调性，该区间叫做单调增 /减区间13、一元二次方程ax2bxcb0 (ab20)4ac1求根公式 :x1,22a2判别式：b24ac30时方程有两个不等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。4根与系数的关系韦达定理:x1x2bc，x1x2aa14、二次函数：一般式yax2bxc(a0) ；两根式 ya(xx1 )(xx2)(a0)2yb4acbb1顶点坐标为(,)；2对称轴方程为：x=；x2a4a2a03当 a0时，图象是开口向上的抛物线，在x=b处取得最小值2a4acb2 4a当a0时，图象是开口向下
7、的抛物线，在x=b处取得最大值2a4acb24a4二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：0时，有两个交点；0时，有一个交点即顶点；0时，无交点。15、函数的零点使 f ( x)0的实数x0叫做函数的零点。例如x01是函数f (x)x21的一个零点。注：函数yfx有零点函数yfx的图象与x轴有交点方程fx0 有实根16、函数零点的判定：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)f (b)0 。那么，函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b,使得fc0。17、分数指数幂am0,m,nN，且n1313mm111a nn a m . 如x3x2 ；(2)ana
8、 n.如namx3x 2 ；3( na)na；nnnna,a04当 n为奇数时，aa；当 n为偶数时，a|a|.a,a0srsrsr18、有理指数幂的运算性质a0, r,sQ1arasar；2(a )a；3(ab)ar br19、指数函数yax a0 且 a1，其中x是自变量，a叫做底数，定义域是Ra1y图象1x00a1y1x1定义域：R0性2值域：0，+质3过定点0，1，即x=0 时，y=14在R 上是增函数4在R上是减函数b20、假设aN，那么叫做以为底N的对数。记作：log a Nba0,a1，N0其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。a注：指数式与对数式的互化公式：logNbabN
9、 (a0,a1,N0)21、对数的性质1零和负数没有对数，即logaN 中N0；21的对数等于0，即loga 10；底数的对数等于1，即logaa122、常用对数lg N：以 10 为底的对数叫做常用对数，记为：log10NlgN自然对数ln N：以e(e=2.71828)为底的对数叫做自然对数，记为：log e Nln N23、对数恒等式：alog aNN24、对数的运算性质a0，a1，M0，N0M(1) loga(MN)log aMlogaN;(2)logaNlog a Mlog a N ;n(3) loga Mnloga M(nR)注意公式的逆用25、对数的换底公式log a Nlog
10、m N(a0 , 且 a1 ,mn0 , 且 m1,N0 ).log m a推论或 loga b1logba；log am bnlog a b .m26、对数函数ylogaxa0 ，且 a1 ：其中， x是自变量， a叫做底数， 定义域是(0,)a10a1y图像x01x01定义域： (0, )值域： R性质过定点1， 0增函数减函数取值范围0x1时， y1 时， y00x0 x1 时， y027、指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数；它们图象关于直线yx对称 .28、幂函数 yxR，其中 x是自变量。要求掌握11,1,2,3这五种情况 ( 如下列图)229、幂函数yx的性质及图象变化
11、规律：所有幂函数在0，+都有定义，并且图象都过点1，1；当0时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间0,) 上是增函数当0时，幂函数的图象在区间33(0,yx2) 上是减函数yx322yx11211yx11yx 1-221-1-2-221-221-1-2-1-3必修 230、边长为a的等边三角形面积S正3 a 24131、柱体体积：V柱S底h，锥体体积：V锥S底h 3球外表积公式：S球32、四个公理：4R2，球体积公式：V4R3上述四个公式不要求记忆3如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。平行于同一直线的两条直线平行平行的传递性。33、等角定理：空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补(如图)12334、两条直线的位置关系：共面直线平行 ：在同一平面内，没有公共点相交 ：在同一平面内，有一个公共点直线与平面的位置关系：异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点1直线在平面上； 2直线在平面外包括直线与平面平行，直线与平面相交两个平面的位置关系： 1两个平面平行； 2两个平面相交35、直线与平面平行：定义一条直线与一个平面没
