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1、第11章 结构的稳定计算习题解答 习题11.1 是非判断题（1）要提高用能量法计算临界荷载的精确度，不在于提高假设的失稳曲线的近似程度，而在于改进计算工具。（ ）（2）对称结构承受对称荷载时总是按对称形式失稳。（ ） （3）刚架的稳定问题总是可以简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。（ ） （4）结构稳定计算时，叠加原理已不再适用。（ ） （5）有限自由度体系用能量法求出的临界荷载是精确解。（ ）（6）当结构处于不稳定平衡状态时，可以在原结构位置维持平衡，也可以在新的形式下维持平衡。（ ）【解】（1）错误。能量法计算临界荷载的精确度，直接取决于所假设的失稳曲线的近似程度。（2）错误。既可按对称
2、形式失稳也可按反对称形式失稳。（3）错误。在能求出刚度系数的情况下，才可简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。（4）正确。一般情况下，结构的稳定计算中，既要考虑几何非线性也要考虑材料非线性，因此，不能采用适用于线性弹性理论的叠加原理。（5）正确。（6）错误。 习题 12.2 填空题 （1）结构由稳定平衡到不稳定平衡，其临界状态的静力特征是平衡形式的 。 （2）临界荷载与压杆的支承情况有关，支承的刚度越大，则临界荷载越 。 （3）用能量法求无限自由度体系的临界荷载时，所假设的失稳曲线y(x)必须满足 条件，并尽量满足 条件。 （4）利用对称性，求习题11.2（4）图所示结构的临界荷载FPcr 。
3、习题11.2（4）图 （5）习题11.2（5）图（a）所示结构可简化为习题11.2（5）图（b）所示单根压杆计算，则弹簧抗转动刚度系数k 。 (a) (b)习题11.2（5）图 （6）习题11.2（6）图（a）所示结构可简化为习题11.2（6）图（b）计算，则抗移动弹簧刚度系数k1 ，抗转动弹簧刚度系数k2 。 (a) (b)习题11.2（6）图【解】（1）二重性。（2）大。（3）位移边界；力的边界。（4）。该对称结构的临界荷载，可按反对称失稳形式（即两端简支压杆）确定。（5）。（6）；。 习题11.3 用静力法计算习题11.3图所示体系的临界荷载。 (a) (b) (c)习题11.3图 【解
4、】（1）给出失稳形式，如习题解11.3（a）图所示。 由得 习题解11.3图（2） 给出失稳形式，如习题解11.3（b）图所示。 由得 （3）给出失稳形式，如习题解11.3（c）图所示。先求得支反力： 由得 习题11.4 用静力法计算习题11.4图所示体系的临界荷载。k为弹性铰的抗转动刚度系数（发生单位相对转角所需的力矩）。习题11.4图【解】给出失稳形式，如习题解11.4图所示。分析AC，由得 习题解11.4图 习题11.5 用静力法计算习题11.5图所示体系的临界荷载。 (a) (b)习题11.5图【解】（1）原体系可简化为习题解11.5（a）图所示。弹性支承刚度系数为习题解11.5图可求
5、得 （2）原体系可简化为习题解11.3（b）图所示。弹性支承刚度系数为可求得 习题11.6 用能量法重做习题11.3（c）。【解】 变形能 荷载势能，其中 总势能由及得 习题11.7 用静力法求习题11.7图所示各结构的稳定方程。 (1) (2) (3) (4)(5)习题11.7图【解】（1）失稳曲线如习题解11.7（1）图所示。微分方程为 或 其中 该微分方程的通解为 代入边界条件：所得齐次方程中，由不全为零的条件（即系数行列式等于零）整理后得习题解11.7（1）图 （2）失稳曲线如习题解11.7（2）图所示。微分方程为 或 通解为。 代入边界条件： 由不全为零的条件，整理后得习题解11.7
6、（2）图 （3）原结构可等效为习题解11.7（3）（a）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（3）（b）图所示。微分方程为习题解11.7（3）图或 通解为 由边界条件 得稳定方程为 （4）原结构可等效为习题解11.7（4）（a）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（4）（b）图所示。微分方程为 习题解11.7（4）图 该方程的通解为 由边界条件 得稳定方程为（5）原结构可等效为习题解11.7（5）（a）图所示具有弹性支承的压杆，弹性支承的刚度系数可由子结构ACD求出。 习题解11.7（5）图分析ACD，如习题解11.7（5）（b）图所示。在A点加单位力偶并作图，图乘
7、得柔度系数为 则弹性支承的刚度系数为 该题的稳定方程为 习题11.8 用能量法计算习题11.8图所示结构的临界荷载，已知弹簧刚度系数，设失稳曲线为。习题11.8图 【解】根据所假设的失稳曲线，可求得应变能及荷载势能如下 ， 由及得 习题11.9 求习题11.9图所示结构的临界荷载。已知各杆长为，EI常数。习题11.9图【解】（1）对称失稳 （2）反对称失稳 习题解11.9图取半结构分析，如习题解11.9（a）图所示，可等效为习题解11.9（b）图进行分析。其中，弹性支承的刚度系数，可先由习题解11.9（c）图所示弯矩图自乘求得柔度系数后，取倒数而得，为故 在习题解11.9（b）图中，由得 由此
8、，反对称失稳时的临界荷载为经比较，原结构的临界荷载为 习题11.10 试分别按对称失稳和反对称失稳求习题11.10图所示结构的稳定方程。习题11.10图【解】（1）对称失稳 习题解11.10图 对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（a）图所示。将其等效为习题解11.10（b）图分析，求得稳定方程为（2）反对称失稳反对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（c）图所示。将其等效为习题解11.10（d）图分析，求得稳定方程为习题11.11 试导出习题11.11图所示桥墩的稳定方程。设失稳时基础绕D点转动，地基的抗转刚度系数为k。习题11.11图【解】计算简图如习题解11.11（a）图所示，失稳形式如习题解11.11（b）图所示。习题解11.11图由即求得。微分方程为 通解为 代入边界条件： 求得稳定方程为12
