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1、.函数专题：单调性与最值一、增减函数1.概念一般地,设函数y=f的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有ff,那么就说f在区间D上是增函数。注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；增减函数是相对于相应区间而言的,不能离开相应的区间讨论增减性。二、判断函数单调性的常用方法1、图像法根据函数图象说明函数的单调性直观例1、 如图是定义在区间5,5上的函数y=f,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数？2利用定义证明函数f在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1,x2D,且x1x2；
2、作差ff； 变形通常是因式分解和配方；定号即判断差ff的正负；下结论即指出函数f在给定的区间D上的单调性例、证明函数在0,1上为减函数例、判断函数单调性.0归纳小结函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论3、直接法对基本初等函数,如一次函数、二次函数、反比例函数可以直接写出它们的单调区间.（1） 一次函数y=kx+b,当k0时,增区间是-,+；当k0时,减区间是-,+针对性练习1.函数的单调区间是 A-,+ B.-,0和1,C.-,1和1, D. -,11,
3、2. 若函数f=|2x+a|的单调递增区间是3,+,求a的值。3函数的增区间是。A-3,-1 B-1,1 C D4、已知函数,判断在区间0,1和1,+上的单调性。5、已知函数y=是定义在-1,2上的增函数,且满足：ff,求实数a的取值范围。6、已知fx=x2-2x+2在-,4上是减函数,求实数a的取值范围.复合函数的单调性1、定义：设y=f,u=g,当x在u=g的定义域中变化时,u=g的值在y=f的定义域内变化,因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,记为y=f=fg称为复合函数,其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量2、复合函数fg的单调性与构成它的函数u=g,y=f的单调性密切
4、相关,其规律如下：函数单调性增增减减增减增减增减减增例、已知,求的单调性。例、已知,求函数的单调性。针对性训练1、已知,求函数的单调性。2、已知,如果,那么 A. 在区间-1,0上是减函数 B. 在区间0,1上是减函数C. 在区间-2,0上是增函数 D. 在区间0,2上是增函数3、已知函数f=8+2x-x2,g=f,试求g的单调区间.三、函数的最大小值1函数最大小值定义1最大值：一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数M满足：1对于任意的,都有； 2存在,使得那么,称M是函数的最大值2最小值：一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数M满足：1对于任意的,都有； 2存在,使得那么,称M是函数的最
5、小值注意：函数最大小首先应该是某一个函数值,即存在,使得；函数最大小应该是所有函数值中最大小的,即对于任意的,都有例、求函数例、求函数在区间2,6 上的最大值和最小值例、设函数f2对于任意实数tR都有ff求a的值；如果x0,5,那么x为何值时函数yf有最小值和最大值?并求出最小值与最大值针对性练习一、选择题1函数y4xx2,x0,3的最大值、最小值分别为4,02,03,04,32函数的最小值为124二、填空题1函数y2x24x1 x的值域为_2函数的值域为_3、函数的值域是。三、解答题1求函数的值域2已知函数f在R上是减函数,对于任意的x,yR,总有f+f=f,f=-2/3,求f在-3,3上的
6、最值。3、求函数y=的值域.四、奇偶性1.概念一般地,如果对于函数f的定义域内任意一个x,都有f-x=f,那么函数f就叫做偶函数；如果都有f=-f,那么函数f就叫做奇函数。从图像的角度,图像关于y轴对称的函数是偶函数,关于原点对称的函数是奇函数。例.下面三个结论：偶函数的图像一定与y轴相交；奇函数的图像一定通过原点；偶函数的图像关于y轴对称.其中正确的个数有几个？2.判断函数奇偶性的一般步骤：求定义域,判断其定义域是否关于原点对称不对称非奇非偶化简函数f的解析式,并求f根据f与非fx的关系,判断函数f的奇偶性例、判断下列函数的奇偶性：1f=2f=3.奇偶函数的性质f是偶函数,则f=f=f若奇函
7、数在原点处有定义,则f=0偶函数的和、差、积、商分母不为零仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇数个奇函数的积、商为奇函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。若函数f为奇函数,则f在关于原点对称的两个区间a,b和-b,-a具有相同的单调性；反之,偶函数具有相反的单调性。例、设f是奇函数,在0,+上是减函数,试证明f在-,0上是减函数.例、判断下列函数的奇偶性：1y=ax+b/x,2y=ax/,a0针对性练习1. 已知f=x5+ax3+bx-8,且f=10,求f.2、设函数fx和gx分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是A、f+|g|是偶函数 B、f-|g|是奇函数C、|f|+g是偶函数 D、|f|-g是奇函数 3、判断函数f=|x+a|-|x-a|,aR的奇偶性.4.设函数f是定义在R上的偶函数,且f=f,当x0,1时,f=x+1,求f.5.函数f=1/x-x的图像关于 A、y轴对称 B、直线y=-x对称C、坐标原点对称 D、直线y=x对称6 / 6
