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1、一、经一、经 验验 模模 型型 在建立数学模型的过程中，经常在建立数学模型的过程中，经常需要建立变需要建立变量之间的关系量之间的关系，但往往由于对研究对象的，但往往由于对研究对象的内部内部机理不甚了解机理不甚了解，不能通过合理的假设，或根据，不能通过合理的假设，或根据物理定律、原理，经过机理分析法而得到。物理定律、原理，经过机理分析法而得到。 可借助于由实验或测量得到的一批离散数据，可借助于由实验或测量得到的一批离散数据，通过通过对数据充分观察和分析对数据充分观察和分析，获得数据所含信，获得数据所含信息，揭示变量间的内在联系，并息，揭示变量间的内在联系，并选择适当的数选择适当的数学式学式对变量
2、间的关系进行拟合，对变量间的关系进行拟合，建立经验模型建立经验模型，或者进行数据曲线拟合。或者进行数据曲线拟合。2022/3/2611）绘制数据散布图（或连线图）；）绘制数据散布图（或连线图）； 2）分析数据散布图（或连线图）分析数据散布图（或连线图） ； 3）选择函数关系形式。）选择函数关系形式。 一一般般步步骤骤 通过分析数据散布图可以获得对变量间关系通过分析数据散布图可以获得对变量间关系的感性认识，形成初步的看法，以便于对问题的感性认识，形成初步的看法，以便于对问题做进一步的分析。做进一步的分析。2022/3/262分析数据散布图分析数据散布图分析分析数据散布图，可得出数据散布图，可得出
3、变量变量的的关系关系是：是：1.线性的还是非线性的？线性的还是非线性的？2.有无周期？有无周期？3.呈现何种变化趋势？变化率如何呈现何种变化趋势？变化率如何例例1 1 建立一个简洁的函数关系式来描述某个地建立一个简洁的函数关系式来描述某个地区人的身高和体重的对应关系，数据见表区人的身高和体重的对应关系，数据见表7.47.4（p156p156）。）。 曲线特征曲线特征：体重：体重W 随身高随身高H 的增长而单调的增长而单调增长，但可以观察到是非线性增长。增长，但可以观察到是非线性增长。2022/3/263身高身高体重体重0.750.7510100.850.8512120.950.9515151.
4、081.0817171.121.1220201.161.1622221.351.3535351.511.5141411.551.5548481.61.650501.631.6351511.671.6754541.711.7159591.781.7866661.851.8575752022/3/264选择函数关系形式选择函数关系形式1.形式尽可能简洁，尽可能线性化；形式尽可能简洁，尽可能线性化；2.依据实际问题的精度要求，合乎实际规律。依据实际问题的精度要求，合乎实际规律。原则原则续例续例1 1 选择幂函数选择幂函数 W= cHa , 描述身高体重关描述身高体重关系，有何优点？系，有何优点？优点
5、优点： 此函数可以线性化。此函数可以线性化。2022/3/265两边取对数，有两边取对数，有令令 变换为线性函数变换为线性函数 y= ax + bW= cHa2022/3/266例例2 2 描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系 可选二次函数可选二次函数y=b0 + b1 x +b2 x2注：注：其中其中 b0= y(0) = 15.182022/3/267可选择可选择威布尔模型威布尔模型：也可以选择也可以选择S S函数函数： 合理性如合理性如何？何？哪个模型哪个模型更好？更好？关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：2022/
6、3/268合理性分析合理性分析优点分析：优点分析：S 模型所含参数更少，另外若令模型所含参数更少，另外若令可得线性模型可得线性模型威布尔模型威布尔模型S S函数函数思考：思考：威布尔模型有无优点？威布尔模型有无优点？2022/3/269二、模型的参数估计二、模型的参数估计数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学数学关系式关系式，但公式中几乎总是涉及一些，但公式中几乎总是涉及一些参数参数。 求模型中参数的估计值有三种常用方法：求模型中参数的估计值有三种常用方法：图解法、统计法、机理分析法图解法、统计法、机理分析法 对经验模型的精度要求不高，只需对参数做对经验模
7、型的精度要求不高，只需对参数做出粗略估计时可采用图解法。出粗略估计时可采用图解法。2022/3/2610关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系：威布尔模型威布尔模型: : 观察图发现数据点都位于直线观察图发现数据点都位于直线 y=43的下方，并的下方，并且数据点越来越靠近这条直线，且数据点越来越靠近这条直线，可以估计可以估计A=43 。 磷肥磷肥施肥施肥量量土豆土豆产量产量033.462432.474936.067337.969841.0414740.0919641.2624542.1729440.3634242.732022/3/2611例例3 3 （见（见P
8、158P158例）例） 表中给出了表中给出了1212月月1 1日日（星期二）和（星期二）和1212月月2 2日（星期三）两天内的海日（星期三）两天内的海浪潮高度值（相对于海堤上的零标尺记号，以浪潮高度值（相对于海堤上的零标尺记号，以米为单位）。米为单位）。我们能依据此表来预测我们能依据此表来预测1212月月5 5日（星期六）日（星期六）下午下午1 1：0000的海浪高度值吗？的海浪高度值吗？2022/3/2612分析：分析： 根据对数据散布图的分析根据对数据散布图的分析，采用函数采用函数 x(t)=asinb(tt*)， 其中其中x(t* )=0 （1）或采用函数或采用函数 x(t)=asin
9、(bt)+ccos(bt) （2）需估计振幅需估计振幅 a 和和 频率频率b解决方法：解决方法：直接量出高低浪之间的高度差为直接量出高低浪之间的高度差为6.66.6米，米， （米）（米）2022/3/2613量出海浪变化周期约为量出海浪变化周期约为12.3小时小时 （每小时）（每小时） 得经验模型得经验模型 x(t)=3.3sin0.511(tt*) t0。 将频率的估计代入（将频率的估计代入（2）式，有）式，有x(t)=asin(0.511t)+ccos(0.511t) 代入代入x(0)=c=2.4 及及 x(23)=3.6 得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型得关于海浪潮随时间变化的另一经
10、验模型x(t)=2.4cos(0.511t)2.7sin(0.511t)， t0。 2022/3/2614模型应用模型应用预测预测1212月月5 5日下午日下午1:001:00的海浪潮高度为的海浪潮高度为 x(109) = 2.4cos(5.11109) 2.7sin(5.11109) =2.4cos(55.7)2.7sin(55.7) =2.4cos(5.4302.7sin(55.7)3.6(米米) 误差分析：误差分析：这一时刻潮位的实际观察值为这一时刻潮位的实际观察值为4.1米，米，相对误差大约是相对误差大约是12%,请考虑一下成因请考虑一下成因。2022/3/2615思考：思考：仔细分析
11、图，可发觉图中仔细分析图，可发觉图中(1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值似乎不是海浪高低潮位的中值;(2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大。振幅随时间的延续似乎在轻微地增大。 我们怎样考虑这些细节来修改模型，以获得我们怎样考虑这些细节来修改模型，以获得更准确的预报呢？更准确的预报呢？2022/3/2616 参数估计的统计处理，往往运用最小二乘参数估计的统计处理，往往运用最小二乘法估计。法估计。 原理在原理在概率论与数理统计概率论与数理统计中已有详细中已有详细介绍，这里略。介绍，这里略。 特点：特点：统计分析法应用于变量间存在相关关统计分析法应用于变量间存在相关关系的情形，并且需要较多数
12、据为基础。系的情形，并且需要较多数据为基础。 2022/3/2617例例3 3 磷施肥量和土豆产量磷施肥量和土豆产量 的回归函数选为的回归函数选为令令对数据进行相应变换，可估计出对数据进行相应变换，可估计出 x0分析：分析：有有 ，与目测法的结论惊人一致。，与目测法的结论惊人一致。 得到磷施肥量和得到磷施肥量和土豆产量的经验公式土豆产量的经验公式= 0.0232，= 0.0073，2022/3/2618三、时间序列预测三、时间序列预测1、 时间序列的成分时间序列的成分一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四一个时间序列中往往由几种成分组成，通常假定是四种独立的成分种独立的成分趋势、循环、
13、季节和不规则。趋势、循环、季节和不规则。时间序列的时间序列的四种独立成分四种独立成分趋势趋势(Trend)(Trend)循环循环(Cyclical)(Cyclical)季节季节 (Seasonal)(Seasonal)不规则不规则(Irregular)(Irregular)2022/3/26191.1 1.1 趋势成分趋势成分 在一段较长的时间内，时间序列往往呈现逐在一段较长的时间内，时间序列往往呈现逐渐增加或减少的总体趋势。时间序列逐渐转变渐增加或减少的总体趋势。时间序列逐渐转变的性态称为时间序列的的性态称为时间序列的趋势趋势。 趋势通常是长期因素影响的结果，如人口总趋势通常是长期因素影响的
14、结果，如人口总量的变化、方法的变化等等量的变化、方法的变化等等趋势成分趋势成分时间序列的时间序列的长期动向长期动向长期长期影响因素影响因素2022/3/26201.2 1.2 循环成分循环成分 时间序列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。时间序列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。 任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、任何时间间隔超过一年的，环绕趋势线的上、下波动，都可归结为时间序列的下波动，都可归结为时间序列的循环成分循环成分。趋势成分趋势成分围绕长期趋势线围绕长期趋势线的上下波动的上下波动例如经济危机例如经济危机2022/3/26211.3 1.3 季节成分季节成分 许多时间序列往往显示出在一
15、年内有规则的许多时间序列往往显示出在一年内有规则的运动，这通常由季节因素引起，因此称为运动，这通常由季节因素引起，因此称为季节季节成分成分。季节成分季节成分季节因素引起的一季节因素引起的一年内有规则的运动年内有规则的运动例如，一个衬衣制造商在秋季和冬季各月有较低的例如，一个衬衣制造商在秋季和冬季各月有较低的销售活动，而在春季和夏季各月有较高的销售量。销售活动，而在春季和夏季各月有较高的销售量。防寒衣物的制造商的销售却正好相反。防寒衣物的制造商的销售却正好相反。2022/3/2622u 季节成分也可用来描述任何持续时间小于季节成分也可用来描述任何持续时间小于一年的、有规则的、重复的运动。一年的、
16、有规则的、重复的运动。u 例如，每天的交通流量资料显示在一天内例如，每天的交通流量资料显示在一天内的的“季节季节”情况，在上、下班拥挤时刻出现高情况，在上、下班拥挤时刻出现高峰，在一天的休息时刻和傍晚出现中等流量，峰，在一天的休息时刻和傍晚出现中等流量，在午夜到清晨出现小流量。在午夜到清晨出现小流量。2022/3/26231.4 1.4 不规则成分不规则成分 时间序列的时间序列的不规则成分不规则成分是剩余的因素，它用是剩余的因素，它用来说明在分离了趋势、循环和季节成分后，时来说明在分离了趋势、循环和季节成分后，时间序列值的偏差。间序列值的偏差。 不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、不规则成分是由那些影响时间序列的短期的、不可预期的和不重复出现的因素引起的。它是不可预期的和不重复出现的因素引起的。它是随机的、无法预测的。随机的、无法预测的。不规则成分不规则成分短期的，不可预期短期的，不可预期和不重复出现的因素和不重复出现的因素引起的随机变动引起的随机变动2022/3/2624时时间间序序列列不不规规则则成成分分分离出趋势成分分离出趋势成分分离出循环成分分离出循环成分分离出季节成分分离
