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1、-1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当*1、*2、*n相互独立且都服从N(0,1)时，Z=的分布称为自由度等于n的分布，记作Z(n)，它的分布密度 p(z)=式中的=，称为Gamma函数，且=1，=。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y(n)，Z(m)，则Y+Z(n+m)。证明: 先令*1、*2、*n、*n+1、*n+2、*n+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=*+*+*，Z=*+*+*，Y+Z= *+*+*+ *+*+
2、*，即可得到Y+Z(n+m)。2. t分布假设*与Y相互独立，且 *N(0,1)，Y(n)，则Z = 的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z t (n)，它的分布密度 P(z)=。请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布假设*与Y相互独立，且*(n)，Y(m)，则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作ZF (n, m)，它的分布密度p(z)=请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF (n, m)时，F
3、(m ,n)。4. t分布与F分布的关系假设*t(n)，则Y=*F(1,n)。证：*t(n)，*的分布密度p(*)=。 Y=*的分布函数F(y) =PYy=P*0时，F(y) =P-*=2， Y=*的分布密度p(y)=，与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度一样，因此Y=*F(1,n)。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4. 常用分布的分位数1分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即分位数、上侧分位数与双侧分位数，它们的定义如下：当随机
4、变量*的分布函数为 F(*)，实数满足0 1时，分位数是使P*=1-F()=的数，双侧分位数是使P*2=1-F(2)=0.5的数2。因为1-F()=，F()=1-，所以上侧分位数就是1-分位数* 1-； F(1)=0.5，1-F(2)=0.5，所以双侧分位数1就是0.5分位数* 0.5，双侧分位数2就是1-0.5分位数*1-0.5。2标准正态分布的分位数记作u，0.5分位数记作u0.5，1-0.5分位数记作u 1-0.5。当*N(0,1)时，P* u=F 0,1(u)=，P*u0.5= F0,1 (u0.5)=0.5，P*u1-0.5= F0,1 (u1-0.5)=1-0.5。根据标准正态分布
5、密度曲线的对称性，当=0.5时，u=0；当0.5时，u0。 u=-u1-。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出 u 1-，然后得到u=-u1-。论述如下：当*N(0,1)时，P* u= F0,1 (u)=，P* u1-=1- F0,1 (u1-)=，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u=-u1-。例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，u 0.05=-u 0.95=-1.645，u 0.01=-u 0.99=-2.326，u 0.025=-u 0.975=-1.960，u 0.005=-u 0.995=-2.576。又因为P|*|0，当*(n)时，P*(n)=
6、。例如，0.005(4)=0.21，0.025(4)=0.48，0.05 (4)=0.71，0.95(4)=9.49，0.975(4)=11.1，0.995(4)=14.9。4t分布的分位数记作t(n)。当*t (n)时，P*30时，在比较简单的表中查不到t(n)，可用u作为t(n)的近似值。5F分布的分位数记作F(n , m)。F(n , m)0，当*F (n , m)时，P*F(n , m)=。另外，当较小时，在表中查不出F(n, m)，须先查F1-(m, n)，再求F(n, m)=。论述如下：当*F(m, n)时，P*=1-，P=，又根据F分布的定义，F(n, m)，PF(n, m) =
7、，因此 F(n, m)= 。例如，F0.95(3,4)=6.59，F 0.975(3,4)=9.98，F 0.99(3,4)=16.7，F 0.95(4,3)=9.12，F 0.975(4,3)=15.1，F 0.99(4,3)=28.7，F 0.01(3,4)=，F 0.025(3,4)=，F 0.05(3,4)=。【课内练习】 1. 求分位数0.05(8)，0.95(12)。 2. 求分位数t 0.05(8)，t 0.95(12)。 3. 求分位数F0.05(7,5)，F0.95(10,12)。 4. 由u 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。 5. 由t 0.95(4
8、)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。 6. 假设*(4)，P*0.711=0.05，P*9.49=0.95，试写出有关的分位数。 7. 假设*F(5,3)，P*9.01=0.95，YF(3,5)，Y1.44。习题答案：1. 2.73，21.0。2. -1.860，1.782。3. ，3.37。4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为双侧0.1分位数。6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，与5.41为双侧0.1分位数，与9.01为双侧0.1分位数。8. 0.1。. z.
