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1、-库仑定律7-1 把总电荷电量为Q的同一种电荷分成两局部，一局部均匀分布在地球上，另一局部均匀分布在月球上，使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，地球的质量M5.98l024kg，月球的质量m=7.34l022kg。1求Q 的最小值；2如果电荷分配与质量成正比，求Q的值。解：1设Q分成q1、q2两局部，根据题意有 ，其中即 。求极值，令，得 ，2，解得， ，7-2 三个电量为 q 的点电荷各放在边长为l 的等边三角形的三个顶点上，电荷QQ0放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q值应为多大？解：Q到顶点的距离为 ，Q与-q的相互吸引力为 ，两个-q间的相互排斥力为 据题意有 ，即 ，解得：
2、电场强度q0图7-3allPO*7-3 如图7-3所示，有一长l的带电细杆。1电荷均匀分布，线密度为+l，则杆上距原点*处的线元d*对P点的点电荷q0 的电场力为何？q0受的总电场力为何？2假设电荷线密度l=k*，k为正常数，求P点的电场强度。解：1线元d*所带电量为，它对q0的电场力为q0受的总电场力 时，其方向水平向右；时，其方向水平向左2在*处取线元d*，其上的电量，它在P点的电场强度为 方向沿*轴正向。7-4一半径为R的绝缘半圆形细棒，其上半段均匀带电量+q，下半段均匀带电量-q，如图7-4所示，求半圆中心处电场强度。解：建立如下列图的坐标系，由对称性可知，+q和-q在O点电场强度沿*
3、轴的分量之和为零。取长为dl的线元，其上所带电量为图7-4+R， 方向如图y方向的分量 7-5一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为s，求球心处电场强度。解：沿半球面的对称轴建立*轴，坐标原点为球心O。在球面上取半径为r、宽为dl的环带，如图，其面积为，所带电荷 dq在O处产生的电场强度为，因为球面上所有环带在O处产生的电场强度方向一样，7-6一无限大均匀带电薄平板，面电荷密度为s，平板中部有一半径为R的圆孔,如图7-6所示。求圆孔中心轴线上的场强分布。提示：利用无穷大板和圆盘的电场及场强叠加原理图7-6RPs解：利用补偿法，将圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，即等效为一个完整的带电
4、无穷大平板和一个电荷面密度相反的圆盘叠加而成。无穷大平板的电场为 圆盘激发的电场为 ，其中为平板外法线的单位矢量。圆孔中心轴线上的电场强度为 电通量7-7电场强度为的匀强电场，其方向与半径为R的半球面的对称轴平行，如图7-7所示，求通过该半球面的电场强度通量。解：作半径为R的平面S与半球面S构成一个闭合曲面，由于该闭合曲面内无电荷，由高斯定理图7-7R7-8一边长为a的立方体置于直角坐标系中，如图7-8所示。现空间中有一非均匀电场，E1、E2为常量，求电场对立方体各外表及整个立方体外表的电场强度通量。ABCOEFGD*yz图7-8解：整个立方体外表的电场强度通量 高斯定理7-9有两个同心的均匀
5、带电球面，内外半径分别为R1和R2，外球面的电荷面密度为+s，其外面各处的电场强度都是零。试求：1内球面上的电荷面密度；2外球面以内空间的电场分布。解：作一半径为r的同心球面为高斯面。设内球面上的电荷面密度为。1处：因为外球面外的电场强度处处为零，由高斯定理有，得 2由高斯定理 即 方向沿径向反向7-10一对无限长的均匀带电共轴直圆筒，内外半径分别为R1和R2，沿轴线方向单位长度的电量分别为l1和l2。1求各区域内的场强分布；2假设l1-l2，情况如何？画出此情形下的E r的关系曲线。解：1作一半径为r、长为h的共轴圆柱面为高斯面，由高斯定理有，得 得 2时，7-11设半径为R的球体，电荷体密
6、度r krrR，其中k为常量，r为距球心的距离。求电场分布，并画出E r的关系曲线。解：作一半径为r的同心球面为高斯面。根据高斯定理 即 得 即 得 7-12一厚度为d=0.5cm的无限大平板，均匀带电，电荷体密度r 1.010-4C/m3，求1平板内外的电场分布；2讨论平板中央以及平板内与其外表相距0.1cm处的电场强度。解：1设中心平面为S0。根据对称性，在距S0处为*处对称地取两面积均为的底面作一圆柱形高斯面，其侧面与板面垂直如下列图，即侧面的电通量为零。时 ， 时 ， 2平板中央 ， 平板内与外表相距0.1cm处，V/m7-13一个电荷体密度为r常量的球体。1证明球内距球心r处一点的电
7、场强度为；2假设在球内挖去一个小球，如图7-13所示，证明小球空腔内的电场是匀强电场，式中是球心到空腔中心的距离矢量。OORO证：1作与球体同心的球面为高斯面，根据高斯定理 即 矢量式 得证2填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为和-的电荷球体，形成电荷密度分别为和-的大球体和小球体。对腔内任一点P如图，由1的结果有大球 ； 小球 得证静电场的环路定理7-14假设电场中*一局部电场线的形状是以O点为中心的同心圆弧。证明该局部上各点的电场强度都应与该点离O点的距离成反比，即E1 r1 = E2 r2。Oqr1r2图7-14证：作一回路abcd，如图。根据静电场环路定理即 ， 得证7-15证明：在静
8、电场中，凡电场线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等。提示：利用环路定理和高斯定理证：设电场方向水平向右。在一电场线上任取两点1和2，作两底面足够小的圆柱面，如图。由高斯定理 即同一电场线上任意两点的电场强度相等。作一矩形回路abcd，其中ab、cd与电场线垂直，bc、da与电场线平行，即有由静电场环路定理 即不同电场线上任意两点的电场强度相等。所以命题成立。电场力的功和电势能7-16边长为a的正三角形, 三个顶点上各放置q，-q和-2q的点电荷，求此三角形重心上的电势。将一电量为+Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力做功多少？解：顶点到重心的距离，重心的电势为 外力所做的功 图7-
9、17Q1Q2OQ3dd7-17如图7-17所示，三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一直线等距放置，且Q1=Q3=Q，其中任一点电荷所受合力均为零。求Q1、Q3固定情况下，1Q2在O点时的电势能；2将Q2从O点推到无穷远处，外力所做的功。解：1Q1和Q3在O点产生的电势为因为Q1所受合力为零，即 ，解得 ，Q2在O点的电势能 2将Q2从O点推到无穷远处，外力所做的功7-18一半径为R的无限长带电棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为r。1求电场分布；2如图7-18所示沿棒轴向俯视，假设点电荷q0由a点运动到b点，则电场力做功为多少？解：1取长为l、半径为r且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面。由高斯定理Rr
10、2r1ab图7-18 即 得 得 2半径一样处的电势相等电势7-19题7-18中，假设取棒的外表为零电势，求空间的电势分布。解：取棒外表为零电势，即时，时，7-20如图7-20所示，电荷面密度分别为 +s和 -s的两块无限大均匀带电平行平面，分别与*轴相交于*1= a和*2= -a两点。设坐标原点O处电势为零，求空间的电势分布。解：；：；：。*a-aO-s+s图7-20：7-21两根半径分别为R1=3.010-2m和R2=0.10m的长直同轴圆柱面，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450V。求圆柱面单位长度上所带电荷l。解：由高斯定理可求得两柱面间的电场强度 ，解得 ROA图7-22BCDE
11、7-22如图7-22所示的带电细棒，电荷线密度为l，其中BCD为半径为R的半圆，AB=DE=R，求1半圆上的电荷在半圆中心O处产生的电势；2直细棒AB和DE在半圆中心O处产生的电势；3O处的总电势。解：1取电荷元 ，2在AB上距O点为r处，取电荷元 。同理DE在点产生的电势37-23半径分别为R1和R2的两个同心球面，分别带有电荷q1和q2。求：1各区域电势分布，并画出分布曲线；2两球面间电势差；3假设R1=10cm、R2=30cm、q1=10-8C、q2=1.510-8C，离球心20cm和50 cm处的电势为多少？解：1由高斯定理可得电场分布为：； ：； ：。电势分布为： ：(2) (3) 即在两球面之间 即在两球面之外 电场强度与电势的关系7-24一电场的电势函数为U = 2*3+y，求电场强度。解：，或 7-25试计算半径为R、电荷线密度为的均匀带电细圆环轴线上的电势分布，并由电势分布求出轴线上的电场强度分布。解：在圆环上任取一线元，带电量为，在轴线上距圆环中心为点产生的电势为，. z.
