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1、精品学习资源旋转矢量引言：前面介绍了用数学表达式及曲线表示简谐运动中位移和时间的关系；本节将介绍用旋转矢量表示位移和时间的关系；引入旋转矢量的优点：1）形象地明白简谐运动的各个物理量；2）为简谐运动的合成供应了最简捷的争论方法；一、旋转矢量图示法：一长度为 A 的矢量 A 在 XOY 平面内绕 O 点沿逆时针方向旋转，其角速度为 ，在 t=0 时，矢量与 X 轴的夹角为 ；这样的矢量称为旋转矢量；在任意时刻，矢量 A 与 X 轴的夹角为 t ， A 的 矢 端 M 在 轴 上 的 投 影 为xA cost ；即：旋转矢量本身并不作简谐运动，而是旋转矢量的矢端在X 轴上的投影点在作简谐运动；在旋
2、转矢量的转动过程中，矢端作匀速圆周运动，此圆称为参考圆；二、 旋转矢量与简谐运动的关系：简谐振动的方程x=Acos t+ ，依据几何学原理可 以把它看作一旋转着的矢量A 在 x 轴上的投影；振幅矢量转动一周，相当于振动一个周期；当一矢量 A 绕其一端点o 以角速度旋转时，另一端点在x 轴或 y 轴上的投影点上将作简谐振动；设 t=0 时， A 与 x 轴夹角为， t 时刻， A 转过t 角，就矢量端点在x 轴上投影点坐标为 x =Asin（ t+ ）；明显投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与A 矢量大小、旋转角速度、初始 A 与 x 轴夹角一一对应；当然，投影点的速度和加速度也与简谐振动的速
3、度和加速度相对应；A振幅圆频率初相位t+ 相位欢迎下载精品学习资源三、 旋转矢量的应用：1作振动图 演示 ：用旋转矢量A 来表示简谐振动形象直观， 一目了然，在以后分析两个以上谐振动合成时十 分有用和便利；旋转矢量图及简诣运动的x-t 图2求初相位：如图，质点在 x=A/2 处向右运动，质点在 x=A/2 处向左运动，/ 3/ 3质点在 x=-A/2 处向右运动，2/ 3质点在 x=-A/2 处向左运动，2/ 33. 可以用来求速度和加速度：矢 端M的 速 度 与 加 速 度 大 小 为 vMA 、2aMA，在 X 轴上的投影为欢迎下载精品学习资源vvMsintAsint欢迎下载精品学习资源a
4、aMcost2 Acost欢迎下载精品学习资源4. 振动的合成 第 6 节内容 例：一个质点沿x 轴作简谐运动，振幅A= 0.06m，周期 T= 2s，初始时刻质点位于 x0= 0.03m 处且向 x 轴正方向运动；求：（1）初相位；（ 2）在 x=- 0.03m 处且向向 x 轴负方向运动时物体的速度和加速度以及质点从这一位置回到平稳位置所需要的最短时间；解：（ 1）取平稳位置为坐标原点，质点的运动方程可写为欢迎下载精品学习资源xAcost依题意，有 A=0.06m， T= 2s，就22rads 1T2欢迎下载精品学习资源在 t=0 时，v0Ax0 sinAcos 00.06 cos0.03
5、m欢迎下载精品学习资源因而解得3故振动方程为欢迎下载精品学习资源x0.06 cost3（SI）欢迎下载精品学习资源用旋转矢量法，就初相位在第四象限，故；3欢迎下载精品学习资源（ 2） tt1 时， x10.06 cost130.03欢迎下载精品学习资源t2且t1为其次象限角，故1333得t1=1s，因而速度和加速度为欢迎下载精品学习资源vdxdt t 1s0.06sint130.16m s 1欢迎下载精品学习资源ad 2 xdt2t1s0.0612 cost30.30m s 2欢迎下载精品学习资源从 x=- 0.03m 处且向向 x 轴负方向运动到平稳位置，意味着旋转矢量从M 1 点转到 M
6、2 点，因而所需要的最短时间满意欢迎下载精品学习资源t32235故t656560.83s欢迎下载精品学习资源可见用旋转矢量方法求解是比较简洁的；单摆与复摆引言：实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简洁，大多数比较复杂；例如1） 回复力不肯定是弹性力，而是重力，浮力等其它性质的力；2） 合外力可能是非线性力，只有在肯定的条件下，才能近似当作线性回复 力；此时争论问题的方法一般为：依据问题的性质，突出主要因素，建立合理的物理模型，使运算简化；下面争论两个实际振动问题的近似处理；一、单摆 数学摆（ Mathematical Pendulum ） 1概念：单摆是一个抱负化的振动系统：它是由一 根无弹性
7、的轻绳挂一个质点构成的；如把质点从平稳 位置略为移开，那么质点就在重力的作用下，在竖直 平面内来回摇摆；摆锤 重物摆线 细绳平稳位置 O 点2动力学方程争论摆锤所受的力，有重力mg，绳的拉力T，合力即为摆锤所受的回复力为：Fmg sin欢迎下载精品学习资源0当 很小时（ 5 ）， sin 因而F=-mg 与角位移成正比欢迎下载精品学习资源又由于摆锤沿圆弧运动，xl ，x / l，近似在水平方向上运动；欢迎下载精品学习资源因而Fmg xlmg x l欢迎下载精品学习资源故单摆作简谐运动， mg/l 相当于弹簧振子的k欢迎下载精品学习资源因而单摆的圆频率为3. 运动学方程和周期单摆的振动方程为2x
8、x0kgmlcost欢迎下载精品学习资源振幅 x0 和初相 由初始条件确定；欢迎下载精品学习资源由简谐运动的周期公式得单摆的周期为4. 说明：T2m kT2l g欢迎下载精品学习资源1） 单摆的合外力与弹性力类似，但本质不同，称为准弹性力；2） 单摆的周期与单摆的质量无关；3） 如单摆的振幅不是很小时，周期的一般表达式为欢迎下载精品学习资源T2l1 12g2sin 2m21 322224sin 4m2欢迎下载精品学习资源式中 m 为最大摆角，并且含有 m 的各项逐步减小；当 m15 0 时，实际周期与抱负周期的误差不超过0.5%；4） 单摆可以当作计时器；5） 单摆供应了一种测量重力加速度的简
9、便装置，只要测出周期T，就2gT24l5. 单摆的频率2 g1 1gTlT2l二、复摆 物理摆（ Physical Pendulum ） 1概念：质量为m 的任意外形物体，被支持在无摩擦的与纸面垂直的水平轴O 上，将它拉开一个微小的角度 后释放；如忽视阻力与摩擦力，就物体将绕轴O 作微小的自由摇摆 复摆；2. 运动方程重力矩：M=-mglsin -mgl 当 很小时（ 50）， sin 依据转动定律，可得d 2欢迎下载精品学习资源 mgl J Jdt 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22故ddtmgl0 J欢迎下载精品学习资源令2mgl Jd 2欢迎下载精品学习资源就dt 22 0欢
10、迎下载精品学习资源所以复摆也是作简谐运动；3. 周期与频率欢迎下载精品学习资源T2Jmglmgl J欢迎下载精品学习资源4. 应用1） 测重力加速度：要求已知J，l，测 T g2） 测转动惯量：假如测出摆的质量，重心到转轴的距离以及单摆的周期，就可以得此物体系统绕该轴转动得转动惯量；有些外形复杂得物体得转动惯量，用数学方法进行运算比较困难，有时甚至是不行能得，但用振动方法可以测定（要求已知 g，l，测 T J）；简谐运动的能量引言：作简谐运动的系统，除具有动能外，仍具有势能，其能量是动能和势能的和；一、简谐运动的能量1能量表达式以弹性振子为例；假设在t 时刻质点的位移为x，速度为 v，就xAc
11、ostvAsint欢迎下载精品学习资源就系统动能为： Ek1 mv221 mA222 sin 2t欢迎下载精品学习资源1212系统动能为： E pkx kAcos2t欢迎下载精品学习资源22因而系统的总能量为欢迎下载精品学习资源EEk E p1 mA222 sin 2t 1 kA 2 cos2t2欢迎下载精品学习资源考虑到2 k ，就m欢迎下载精品学习资源E 1 mA22212 kA 2欢迎下载精品学习资源即弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比；欢迎下载精品学习资源由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变；说明：1. EA 2，对任
12、何简谐运动皆成立； 2动能与势能都随时间作周期性变化， 变化频率是位移与速度变化频率的两 倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关；动能 Ek=E-Ep2. 能量曲线留意懂得能量守恒和动能、势能相互转化过程；由能量守恒关系可得：k A2/2= mv 02/2+ kx 02/2，解之即得： 2x2v0A0二、能量平均值定义：一个随时间变化的物理量ft ，在时间 T 内的平均值定义为T欢迎下载精品学习资源f1fT 0t dt欢迎下载精品学习资源因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为欢迎下载精品学习资源1 T 1EkmA22 sin 2tdt1mA221 kA2欢迎下载精品学习资源T 0 244因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为T欢迎下载精品学习资源pE11 kA2 cos2tdt1 kA21 mA22欢迎下载精品学习资源T 0 244结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半；三、应用在忽视阻力的条件下，作简谐
