精品学习资源欢迎下载精品学习资源吉林师范高校博达学院毕业论文 <设计）论文分类号 O174.14密 级：无欢迎下载精品学习资源整系数多项式的有理根的定理及求解方法系别 &专业：数学系 -数学与应用数学专业姓名 &学号：刘玉丽 0934118年级 &班别：2021 级 1 班老师 &职称：张洪刚2021 年 9 月 1 日欢迎下载精品学习资源摘 要： 整系数多项式在多项式的讨论中占有重要的位置，其应用价值也越来越被人们所熟悉；本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，期望能够给对整系数多项式感爱好的伴侣供应肯定的参考；本文依据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理根的较为系统的求法；求解整系数多项式的有理根时，第一要判定整系数多项式 是否存在有理根；如存在，就可利用求解有理根的方法法将全部可能的有理根求出；为了简化求解过程，可以先运用本文中的相关定理，将可能的有理根的范畴尽量缩小，然后再用综合除法进行检验，进而求出整系数多项式 的全部有理根；关键词： 整系数多项式； 有理根的求法； 有理根的判定Abstract ： Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solving of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure integral coefficients polynomial f〔x> has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However,in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots.Keywords : Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots欢迎下载精品学习资源第一章 整系数多项式的基本内容 【1】本节给出了整系数多项式的基本定理 高斯〔Gauss>引理；[1]定 义 1 如 果 一 个 多 项 式 ， 其 所 有 系数都是整数，就称此多项式为整系数多项式；定义 2 假如一个非零的整系数多项式 的系数没有异于 的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式；下面的重要结果，称为高斯引理，是讨论整系数多项式的基础；定理 1.1< 高斯引理） 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式；证明 设是两个本原多项式，而是它们的乘积 . 我们用反证法 .假如 不是本原的，也就是说， 的系数 有一异于 的公因子，那么就有一个素数 能整除 的每一个系数 . 由于 的本原的， 所以 不能同时整除 的每一个系数 . 令 是第一个不能被 整除的系数， 即 .同 样 地 ， 也 是 本原 的 ， 令 是 第 一个 不能 被 整 除 的 系 数 ， 即我们来看 的系数 ，由乘积定义由上面的假设， 整除等式左端的 ， 整除右端 . 这是不行能的 . 这就证明白，欢迎下载精品学习资源肯定也是本原多项式 . 由此我们可以得到下面的定理及推论定理 1.2 假如一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它肯定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积 .推 论 1.2.1 设 ， 是整系 数多 项式 ， 且 是本 原的 . 假如= ，其中 是有理系数多项式，那么 肯定是整系数的 .其次章 整系数多项式有理根的重要定理在高等代数中，关于整系数有理根的问题，有如下定理：[1]定理 2.1 设 是一个整系数多项式 , 而 是 的一个有理根 ,其中 r,s 互素,那么必有 .特殊地，假如 的首项系数 ，那么 的有理根都是整根，而且是 的因子；证 明 ： 因 为 是 的 一 个 有 理 根 , 因 此 在 有 理 数 领 域 上 ， 从 而, 由于 r,s 互素，所以 是一个本原多项式 . 依据上述推论 1.2.1 ，， 式 中 都 是 整 数 . 令， 比 较 两 边 系 数 ， 即 得 因 此；将 代入上式得 ,由定理 2.1 的证明过程可得如下定理：定理 2.2 如 是一个次数 大于 的整系数多项 式 , 如 果 是 的 一 个 有 理 根 , 其 中 是 互 素 的 整 数 , 那 么定理 2.3 如 为整系数多项式 的整数根 , 就 为常数项 的约数 , 且对于.欢迎下载精品学习资源证明：由于 q 是整系数多项式 的整数根 , 所以, 其中 是整系数多项式 ., , 就有 .又 , 故 , 所以 .当 时, . 由于 是常数项 , 故 为常数项 的约数 , 所以.定理 2.4 如整系数多项式 的常数项 为奇数,而 为偶数, 就 不是 的有理根 .证明： <反证法）设 是 的有理根 , 就 ,, 其中 是整系数多项式 ,于是有设 , 令 , 就有又由于 是奇数 , 是偶数 . 在上式中 , 等号左边是奇数 , 等号右边是偶数 ,冲突. 故假设不成立 .所以 不是 的有理根 .定理 2.5 <关于整根的牛顿法） 【2 】假如 d 是整系数方程 < ）的整根, 那么 能够整除 , , , , , 并且 . 反之, 假如 , 那么 是 的根.由以上定理可得下面推论：欢迎下载精品学习资源推论 整系数多项式 , 当 〔 互素>是有理数时 , 如 , 就 是 的根.证明：由于 ,在 上 式 两 边 同 时 乘 以 , 就 有 即. 所以 是 的根.第三章 整系数多项式有理根的求法[7]3.1 整系数多项式有理根的判定存在性的判定通常可以用常数项的全部因数逐个地代入多项式去验证 , 但当常数项较大 , 因数较多 , 多项式的次数较高时 , 运算量之大 , 没有运算机的帮忙是很难实现的. 假如先判别多项式的不行约 , 或者将多项式分解成几个多项式的积后再作判定. 这在理论上是可行的 , 但实际要将一个多项式分解因式时却不是一件简单的事情 . 所以, 讨论整系数多项式有理根的存在性问题 , 明智的挑选仍是从系数开头；整系数多项式无有理根的判别法：[1]定理 3.1.1 〔Eisenstein 判别法 >：设 是一个整系数多项式；假如有一个素数 ，使得1、 ；2、 ；3、 .那么 在有理数域上是不行约的 .证明 假如 在有理数域上可约，那么由定理 2.2 ， 可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：= .因此，欢迎下载精品学习资源由于 ，所以 能整除 或 . 但是 ，所以 不能同时整除 及 .因此不 妨假 定 但 . 另一 方面， 因 为 ， 所以 . 假设中第一个不能被 整除的是 . 比较 中 的系数，得等式. 式中都能被 整除，所以 也必需能被 整除. 但是 是一个素数，所以 与中至少有一个被 整除. 这是一个冲突 .定理 3.1.2 【3 】设数 , 使得〔1>是一个整系数多项式，如能找到一个素数 和整〔2> , 但；〔3> 〔i> 当 时，；且 ；〔ii> 当时，其中 为正整数，〔 注：当 时 ，与 〔i>相同>，那么 ，多项式 无有理根 ；证明：〔i>当时，假设多项式存在有理根，，就在有理数域上从而；由于互素，所以是一个本原多项式 ， 根 据 推 论 由 ， 依 次 类 推 ， 即 得 ， 所 以 ； 1.2.1 知式中 都是整数，比较两欢迎下载精品学习资源边系数，即得 <△）由于 是素数，且，由 <△）知，所以 或 ，同时，由于，所以且；如 果 ， 那 么由， 及〔 △ > 中 ， 所以；即 ，故；又由于 及又由于 及,，所以，即；所以 , 即 ,所以 , 故 ；与冲突；必有，就；由于 及由 〔 △ >式中，所以 ，但 ，必有由〔 △ >式依次类推知 ；；由及，得；又由前面所述知且，为素数；冲突！故 无有理根；〔ii> 当 是正整数且 时， 〔 由于 的情形为上述所证明>；此时，在 中，令 ，得欢迎下载精品学习资源令由定理的条件明显知， 的系数 均为整数由于 ， 是正整数，且由定理 3.1.2 的 〔1> 〔2>知， ，但又由定理 3.1.2 中 〔3> 〔ii> 知，其中 ， 及 ， 同时由〔i> 证明知 无有理根， 故 无有理根；3.2 整系数多项式有理根的求法定理 3.2.1【5】设既约分数 ，多项式 除整系数多项式所得的商式为余式为常数 ，多项式 除多项式所得的商式为 ，就〔 ⅰ > 为 的一个根的充要条件为 的各系数都能被 整除，。