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1、第三章 导数及其应用高考文数考点导数的应用1.函数的单调性对于在(a,b)内的可导函数f(x),若f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,则f(x)0f(x)为增函数,区间(a,b)为函数f(x)的增区间;f(x)0f(x)为减函数,区间(a,b)为函数f(x)的减区间.2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,(i)如果在x0的左侧附近f(x)0,右侧附近f(x)0,那么f(x0)是极大值;(ii)如果在x0的左侧附近f(x)0,那么f(x0)是极小值.3.2导数的应用知识清单(2)求可导函数极值的步骤(i)求f(x);(ii)求方程f(x
2、)=0的根;(iii)检查f(x)在方程f(x)=0的根的左、右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.(2)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下:(i)求f(x)在(a,b)内的极值;(ii)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(3
3、)如果函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,那么函数y=f(x)在a,b上必有最大值和最小值,函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处.知识拓展1.f(x)0是f(x)在(a,b)上为增函数的充分不必要条件,同理,f(x)0(或f(x)0时,f(x)在相应区间上是单调递增函数;当f(x)0时,f(x)在相应区间上是单调递减函数.还可以通过列表写出函数的单调区间.方法技巧方法1例1(2016课标全国,21,12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解析(1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)
4、=(x-1)(ex+2a).(i)设a0,则当x(-,1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.(2分)(ii)设a-,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.(4分)若a1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0;当x(1,ln(-2a)时,f(x)0,则由(1)知,f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b0且b(b-2)+a(b-1)2=a0,所以f(x)有两个零点.
5、(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a0,若a-,则由(1)知,f(x)在(1,+)上单调递增,又当x1时,f(x)0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a-,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a)上单调递减,在(ln(-2a),+)上单调递增,又当x1时,f(x)0时,求出f(x)的最大值为ff2a-2等价于lna+a-10,所以f(x)在(0,+)上单调递增.若a0,则当x时,f(x)0;当x时,f(x)0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f2a-2等价于lna+a-10.令
6、g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+)上单调递增,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).例3(2016山东,20,13分)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.解题导引(1)求f(x),从而求出g(x)求出g(x)=对a分类讨论,确定g(x)的符号结论(2)利用(1)的结论知f(x)的单调性对a分类讨论,确定f(x)在各个区间的符号利用f(x)在x=1处取得极大值求a的取值范围解析(1)由f(x)=lnx-2a
7、x+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x(0,+).则g(x)=-2a=.当a0时,x(0,+)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当a0时,x时,g(x)0,函数g(x)单调递增,x时,函数g(x)单调递减.所以当a0时,g(x)的单调增区间为(0,+);当a0时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为.(2)由(1)知,f(1)=0.当a0时,f(x)单调递增,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0a1,由(1)知f(x)在内单调递增,可得当x(0,1)时,f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=时,=1,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+)内单调递减,所以当x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a时,00,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f(x).
