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1、有理数学问点总结归纳正数和负数正数和负数的概念负数：比 0 小的数正数：比 0 大的数0 既不是正数,也不是负数留意 ：字母 a 可以表示任意数,当a 表示正数时, -a 是负数；当 a 表示负数时, -a 是正数；当 a 表示 0 时,-a 仍是 0；（假如出判定题为： 带正号的数是正数, 带负号的数是负数, 这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简洁判定）正数有时也可以在前面加“ +”,有时“ +”省略不写； 所以省略 “ +”的正数的符号是正号；2. 具有相反意义的量如正数表示某种意义的量,就负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如： 零上 8表示为： +8；零下 8表示为： -8
2、 3.0 表示的意义 0 表示“ 没有”,如教室里有0 个人,就是说教室里没有人； 0 是正数和负数的分界线,0 既不是正数,也不是负数；如：有理数1. 有理数的概念正整数、 0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数, 0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数；懂得 ：只有能化成分数的数才是有理数；是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数；有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数；留意 ：引入负数以后, 奇数和偶数的范畴也扩大了,像-2,-4,-6,-8也是偶数, -1,-3,-5 也是奇数；2. 有理数的分类按有理数
3、的意义分类按正、负来分名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 21 页,共 20 页正整数正整数整数 0正有理数负整数正分数有理数有理数0（ 0 不能忽视） 正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：正整数、 0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、 0 统称为非正整数正有理数、 0 统称为非负有理数负有理数、 0 统称为非正有理数数轴数轴的概念规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴；留意 ：数轴是一条向两端无限延长的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不行； 同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是依据实际需要规定的；2. 数轴上的点与有理数的关系全部的有理
4、数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0 用原点表示；全部的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说, 有理数与数轴上的点不是一一对应关系；（如,数轴上的点不是有理数）3. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大；正数都大于 0,负数都小于0,正数大于负数；两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小；4. 数轴上特别的最大（小）数最小的自然数是0,无最大的自然数；最小的正整数是1,无最大的正整数；最大的负整数是 -1 ,无最小的负整数5.a 可以表示什么数 a0 表示 a 是正数；反之
5、, a 是正数,就 a0； a0 表示 a 是负数；反之, a 是负数,就 a0 时, -a0 （正数的相反数是负数）当 a0 （负数的相反数是正数） 当 a=0 时, -a=0 ,（0 的相反数是 0）6. 多重符号的化简多重符号的化简规律 : “ +”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略；“ - ”号的个数打算最终化简结果；即： “ - ”的个数是奇数时,结果为负, “ - ”的个数是偶数时,结果为正；肯定值肯定值的几何定义一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的肯定值,记作 |a| ；2. 肯定值的代数定义一个正数的肯定值是它本身；一个负数的肯定值是它的相反数； 0 的肯定值
6、是 0.可用字母表示为：假如 a0,那么 |a|=a ；假如 a0,那么 |a|=-a；假如 a=0,那么 |a|=0 ；可归纳为： a 0, |a|=a（非负数的肯定值等于本身；肯定值等于本身的数是非负数；） a 0, |a|=-a（非正数的肯定值等于其相反数；肯定值等于其相反数的数是非正数；）3. 肯定值的性质任何一个有理数的肯定值都是非负数,也就是说肯定值具有非负性；所以,a 取任何有理数, 都有 |a| 0；即 0 的肯定值是 0；肯定值是 0 的数是 0. 即： a=0 |a|=0；一个数的肯定值是非负数,肯定值最小的数是0. 即： |a| 0；任何数的肯定值都不小于原数；即：|a|
7、 a；肯定值是相同正数的数有两个,它们互为相反数； 即：如|x|=a （ a0）,就 x=a；互为相反数的两数的肯定值相等；即：|-a|=|a|或如 a+b=0,就 |a|=|b|；肯定值相等的两数相等或互为相反数；即：|a|=|b|,就 a=b 或 a=-b ；如几个数的肯定值的和等于0,就这几个数就同时为0；即 |a|+|b|=0,就 a=0 且b=0；（非负数的常用性质：如几个非负数的和为0,就有且只有这几个非负数同时为0）4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小；利用肯定值比较两个负数的大小：两个负数比较大小, 肯定值大的反而小； 异号两
8、数比较大小,正数大于负数；5. 肯定值的化简当 a 0 时, |a|=a；当 a 0 时, |a|=-a6. 已知一个数的肯定值,求这个数一个数 a 的肯定值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离, 一般地, 肯定值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,肯定值为0 的数是 0,没有肯定值为负数的数；有理数的加减法1. 有理数的加法法就同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加；肯定值不相等的异号两数相加,取肯定值较大的加数的符号,并用较大的肯定值减去较小的肯定值；互为相反数的两数相加,和为零；一个数与零相加,仍得这个数；2. 有理数加法的运算律加法交换律： a+b=b+a加法结合律： a+
9、b+c=a+b+c在运用运算律时,肯定要依据需要敏捷运用,以达到化简的目的,通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数,先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”；3. 加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0 后的和等于原数；即：当 b0 时, a+ba当 b0 时, a+ba当 b=0 时, a+b=a4. 有理数减法法就减去一个数,等于加上这个数的相反数；用字母表示为：a-b=a+-b；5. 有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中
10、,依据有理数减法法就, 可以将减法转化成加法后,再依据加法法就进行运算；在和式里, 通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式；如：-8+-7+-6+5=-8-7-6+5.和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负8、负 7、负 6、正 5 的和”按运算意义读作“负8 减 7 减 6 加 5”6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： . 把符号相同的加数相结合（同号结合法）-33-18+-15-+1+23原式 =-33+18+-15+-1+23（将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=-33-15-1+18+23（把符号相同的加数相结
11、合）=-49+41（运用加法法就一进行运算）=-8（运用加法法就二进行运算） . 把和为整数的加数相结合（凑整法）+6.6+-5.2-3.8+-2.6-+4.8原式 =+6.6+-5.2+3.8+-2.6+-4.8（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=6.6-2.6+-5.2-4.8+3.8（把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8（运用加法法就进行运算）=7.8-10（ 把符号相同的加数相结合, 并进行运算）=-2.2（得出结论） . 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）- 3 -1 + 3 -2 + 1 - 7524528原式 =-3 - 2 +-1 + 1 +3 - 7 552248=-1+0- 18=-1
