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1、精品学习资源中学数学竞赛精品标准教程及练习67参数法证平几一、内容提要1. 联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.2. 有一类平面几何的证明，可以依据图形性质引入参数，布列方程，通过运算来完成， 我们称它为参数法 .其关键是正确选定参数和精确的进行运算.欢迎下载精品学习资源二、例题例 1 如图已知： AB 是 O 的直径， C 是半圆上的一点，CD AB 于 D， N 与 O 内切且与 AB 、CD 分别切于 E， F.求证： AC=AE.ACFNODEB欢迎下载精品学习资源分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系AC ，AE 的关系 .证明：设 O， N 半径分别为 R 和 r，连接 ON
2、 ， NE.依据勾股定理：欢迎下载精品学习资源OE=R - r 2r 2 =R 2 -2Rr， AE=OA OE R+R 2 - 2Rr ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源OD=OE r=R 2 - 2Rr r，AD=OA OD R+R 2 - 2Rr r欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源依据射影定理AC 2=AD AB=R+R 2 - 2Rr r 2R欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2=2R 2+2RR 2 - 2Rr 2Rr欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2=R +2RR- 2Rr+R2 2Rr欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源=R+R 2 - 2Rr
3、2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 AC= R+ AC=AER 2 - 2Rr .欢迎下载精品学习资源例 2.已知： ABC 的内切圆 I 和边 AB ， BC， CA 分别切于 D， E， F，欢迎下载精品学习资源AC BC 2AD DB.求证： C Rt .证明：设 AD x,就 DB c x.代入 AC BC 2AD DB.得ab=2xc x. 2x2 2cx+ab=0.CEFabIAxDBC欢迎下载精品学习资源2c x=c22abc=4c 22ab2cba,又依据切线长定理得x，2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源cc222ab cba .2欢迎下载精品学习资源c2 2a
4、b=a2 2ab+b2 .c2=a2+b2 . C Rt.例 3.已知：等边三角形ABC 中， P 是中位线DE 上一点， BP，CP 的延长线分别交AC 于F，交 AB 于 G.欢迎下载精品学习资源求证：1 1 3.BGCFBC欢迎下载精品学习资源证明：设 ABC 边长为 a,PD m,PE=n,BG=x,CF=y.欢迎下载精品学习资源 DE 是 ABC 的中位线， DE BC ，DE a1BC.2A欢迎下载精品学习资源mx2 axya1FGD mnE P欢迎下载精品学习资源n2 2ayBCxaya欢迎下载精品学习资源（ 1）（ 2）： mna22 .xy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习
5、资源 11a1a ，a113，欢迎下载精品学习资源1 BG22 x2 y 113 .xya1 3 .CFBC2xy2欢迎下载精品学习资源例 4. 已知：如图四边形ABCD中，过点B 的直线交AC于 M ，交 CD于 N ，且AM CNACCDSABC S ABD S BCD 1 34.求证： M ， N 平分 AC 和 CD.证明：设 S ABC 1，就 S ABD 3，S BCD 4， S ACD 3 4 1 6.欢迎下载精品学习资源设 AM CN k 0k1. 连结 AN.欢迎下载精品学习资源ACCDD依据高相等的三角形面积的比等于底的比，得欢迎下载精品学习资源S ACNS ACDCNk
6、，S ACN 6k；CDANj MC欢迎下载精品学习资源S AMNSACN AMACk , S AMN 6k k6k 2；B欢迎下载精品学习资源S BCNSBCD CNCDk , S BCN 4k；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源S ABMS ABC AMACk , S ABM k； S BMC 1 k.D欢迎下载精品学习资源 S ACN S AMN SMNC S BCN SBMC 6k 6k2=4k 1k .N6k2 k 1=0.欢迎下载精品学习资源 k= 1 ；或 k= 1 .k=1j.不合题意，舍去 .AMC欢迎下载精品学习资源233AMCN1B k=.ACCD2 AM MC ，
7、 CN ND .即 M ，N 平分 AC 和 CD.例 5.已知：如图 ABC 中， AD 是高， AB DC AC BD.求证： AB AC.证明：设 AB c， AC b, BD=m, DC=n.依据勾股定理欢迎下载精品学习资源b2n2c 2得cnbm.m2；A欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bnbncmcm；cb欢迎下载精品学习资源cmbn.bncm； bcnm.CBmDn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nmcb； cb=b c， b=c.即 AB AC.欢迎下载精品学习资源nmbc.例 6.如图已知：一条直线截ABC 三边 AB ， BC ， AC 或延长线于 D， E
8、， F.欢迎下载精品学习资源求证： ADDBBECF 1 ECFA（ 曼奈拉斯定理）欢迎下载精品学习资源证明：设 BDE ， DEB ， F .依据正弦定理：A欢迎下载精品学习资源在 BDE 中，在 CEF 中，BESinCFSinDBSinECSinBESin；DBSinCFSin；ECSinDCBEF欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 ADF 中，ADSinFA Sin180ADSin.FASin180欢迎下载精品学习资源 Sin180 =Sin .欢迎下载精品学习资源 BEDBAD即DBCFADECFABECFECFA . SinSin1.SinSinSin Sin1801 .E
9、BCH欢迎下载精品学习资源三、练习 67IA1. 已知：如图三条弦AB ， CD， EF 两两相交于 G， H， I.GDIA GD HE ， IC GF HB.F求证： GHI 是等边三角形 .2. 已知：在矩形 ABCD 中， AP BD 于 P， PE BC 于 E， PF CD 于 F.求证： PA3 PE PF BD3. 已知： ABC 的两条高 AD ， BE 相交于 H ，求证：过 A ， B， H 三点的圆与过 A ， C， H 三点的圆是等圆 .4. 已知： AB 是 O 的直径， P 是半圆上的一点，PCAB 于 C，以 PC 为半径的 P 交 O 于 D ，E.求证： D
10、E 平分 PC.5. 已知： ABC 的两条高 AD 和 BE 相交于 P，且 AD BC ， F 是 BC 的中点 .求证： PD PF 1 BC26. 已知：平行四边形ABCD 中， A B ，AC 2 BD 2 AB 4 AD 4.欢迎下载精品学习资源求证： A 1 B.3欢迎下载精品学习资源7. 求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的 两边的乘积的比 .8. 已知： AB 是 O 的直径， E 是半圆上的一点，过点 E 作 O 的切线和过 A ，B 的 O 的两条切线分别相交于 D， C，四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于 F， EF
11、的延长线交 AB 于 H.求证： EF=FH.9. 已知：如图 M 和 N 相交于 A ， B，公共弦 AB 的延长线交两条外公切线于P， Q.求证： PA=QB ； PQ2=AB 2+CD 2.PD C10. 已知：正方形 ABCD 内一点 P，满意等式APA PB PC 1 23.MN求证： APB 135.BEQF11. 一个直角三角形斜边为c, 内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比.（提示：引入参数a 和 b 表示两直角边）欢迎下载精品学习资源练习 67 参考答案：1. 设 IA a,IC b,IH x,HQ y 用相交弦定理列方程组.欢迎下载精品学习资源2. 引入参数 ，设 DBC ， PA2 PB PDPESinPFCos欢迎下载精品学习资源3. 设 ABH ACH ，用 AH Sin 表
