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1、学习必备精品学问点初三数学圆学问点一. 垂径定理A垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；O推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；ECD（2） 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；B（3） 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧简洁记成：一条直线：过圆心垂直弦平分弦平分弦所对的劣弧平分弦所对的优弧弧以上以任意两个为已知条件,其它三个都成立,简称2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中,只要知道其中2 个即BC可推出其它 3 个结论,即： AB 是直径 ABCD CEDE 中BDACAD任意 2 个条件推出其他3
2、个结论；例 1如图,在 O 中,弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E,如 BAD=30 ,且 BE=2 ,就 CD= 例 2 已知 O 的直径 CD10cm , AB 是 O 的弦, AB8cm,且 ABCD ,垂足为 M ,就 AC 的长为（C ）A 25cmB 45cmC 25cm 或 45cmD 23cm或 43cm例 3、如 图 是 一 个 古代 车 轮 的 碎片 , 小 明 为求 其 外 圆半 径 , 连 结外 圆 上 的 两点 A、 B, 并使AB 与 车 轮内 圆 相 切于 点 D,做 CD AB 交 外圆 于 点 C测 得 CD=10cm, AB=60cm,就 这个 车轮 的
3、外 圆半 径 为例 4、如图,在 55 的正方形网格中,一条圆弧经过 A, B,C 三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是A点 PB点 QC点 RD点 M二、圆周角定理1、圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,等于它所对的圆心的角的一半；即：AOB 和ABACB 是 所对的圆心角和圆周角AOB2ACBDC2、圆周角定理的推论：BO推论 1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90 圆周角所对的弦直径A推论 2：圆内接四边形的对角互补；由对称性仍可知： 1、在同圆或等圆中,假如圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的弦相等； 2、在同圆或等圆中,假如弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等
4、；3、在同圆或等圆中,假如弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等；简记：在同圆或等圆中,弦圆心角弧中只要一个相等,其它两个也相等；例 1、如图,已知 A、B、C 三点在 O 上, AC BO 于 D, B=55,就 BOC 的度数是70 例 2、从以下直角三角板与圆弧的位置关系中,可判定圆弧为半圆的是（）A B CD0例 3、如图, ABCD的顶点 A、B、D 在0上,顶点 C 在0的直径 BE上,连接 AE,E=36 ,0000就 ADC= A,44B 54C 72D 53同学练习：三、与圆有关的位置关系1. 点与圆的位置关系： 设圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,就点在圆内 ；
5、点在圆上 ；.点在圆外 2. 直线与圆的位置关系：假如O 的半径为 r,圆心 O 到直线 L 的距离为 d,那么：（ 1）直线和圆有个公共点时,叫做直线与圆相交,这时直线叫做圆的 ,公共点叫做,此时 dr；（ 2）直线和圆有个公共点时,叫做直线与圆相切,这时直线叫做圆的 ,公共点叫做,此时 dr（ 3）直线和圆有个公共点时,叫做直线与圆相离,此时dr3. 切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即：MNOA且 MN 过半径 OA外端 MN 是 O 的切线（ 2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1
6、：过圆心垂直于切线的直线必过切点；O推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；MAN以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；4. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；B即： PA、 PB是的两条切线 PAPBPO平分BPAOP例 1. 已知 O的半径为 3,A 为线段 PO的中点 , 就当 OP=6时, 点 A 与 O的位置关系为 A. 点在圆内B.点在圆上C.点在圆外D.不能确定A2. O的半径为 6, O的一条弦 AB长为 33 , 以 3 为半径的同心圆与直线AB
7、的位置关系是 A. 相离B.相切C.相交D.不能确定3. 如下列图 , O的形状梯形 ABCD中, 假如 AD BC,那么 DOC的度数为 A.70B.90 C.60 D.45AD4. 如下列图 ,PA 与 PB分别切 O于 A、B 两点 ,C 是 AB 上任意一点 , 过 C作 O的切线 , 交 PA及 PBO于 D、E 两点 , 如 PA=PB=5cm就, PDE的周长是cm.5、如图 2 ,在平面直角坐标系xOy 中,半径为 2 的 P 的圆心 P 的坐标为 3,0 ,将 P 沿 x 轴正方向平移,使 P 与 y 轴相切,就平移的距离为A 1B 1 或 5C 3D 56、如图, RtAB
8、C 中, ABC=90 ,以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D,点 E 为 BC 的中点,连接DE （ 1）求证： DE 是半圆 O 的切线（ 2）如 BAC=30 , DE=2,求 AD 的长7. 如图,在 ABO 中, OA=OB , C 是边 AB 的中点,以 O 为圆心的圆过点 C（ 1）求证： AB 与 O 相切；（ 2）如 AOB=120 ,AB=4,求 O 的面积B 第6题C8. 如下列图 , 点 I 是 ABC的内心 ,AI的延长线交边 BC于点 D,交 ABC外接圆于点 E.1 求证:IE=BE;2如 IE=4,AE=8, 求 DE的长 .9、已知点 M, N的坐标
9、分别为（ 0, 1）,（ 0, 1）,点 P是抛物线 y点1 x2 上的一个动A4I（ 1）求证：以点P 为圆心, PM为半径的圆与直线y1 的相切；（ 2）设直线 PM与抛BDCE12物线 yx 的另一个交点为点Q,连接 NP, NQ,求证：PNMQNM 4练习：8、如图,直线 l 与半径为 4 的 O 相切于点 A ,P 是 O 上的一个动点（不与点A 重合）,过点 P 作 PBl ,垂足为 B,连接 PA设PA=x, PB=y,就（ x y）的最大值是29、已知 ABC 内接于 O,过点 A 作直线 EF（ 1）如图 所示,如 AB 为 O 的直径, 要使 EF 成为 O 的切线, 仍需
10、要添加的一个条件是 （至少说出两种） ： BAE=90 或者 EAC= ABC（ 2）如图 所示,假如 AB 是不过圆心 O 的弦,且 CAE= B,那么 EF 是 O 的切线吗？试证明你的判定四. 扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式DA2 底面圆周长D1母线长n R1、扇形：（ 1）弧长公式：nR1BCC1l；（2）扇形面积公式：180SlR3602B1n ：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面绽开图：SS2 S = 2rh2r 2表侧底O（ 2）圆柱的体积：Vr 2hRCArB3、圆锥侧面绽开图（1） SSS=Rrr 2（2）圆锥的体积： V1r
11、2h4、正多边形的其它性质表侧底31 正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心,边数为偶数的正多边形仍是中心对称图形,它的中心就是对称中心；2 边数相同的正多边形相像；5、正多边形的有关运算 正多边形的外接圆 或内切圆 的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距,正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角；正 n 边形的有关运算公式1每个内角（n2）1800n180 03600n； 每个外角360 0n（ 2） 正n边形边长 a2R sin180 0n, 内切圆半径 rR cos0180 0n, 正n边形周长n a03 正n边形面积 Sn1ra 21 Pr2nR2sin 180ncos 180n留意：同一个圆的内接正n 边形和外切正 n 边形是相像形,相像比是圆的内接正n 边形边心距与它的半径之比cos1800 ；n这样,同一个正 n 边形的内切圆和外接圆的相像比180 0cosn例 1、一个圆锥的侧面绽开图是半径为8cm、圆心角为 120的扇形,就此圆锥底面圆的半径为（）8A cmB316 cmC 3 cmD 4 cm33例 2、已知圆的半径是 23 ,就该圆的内接正六边形的面积是（）边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表
