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1、精选word文档 下载可编辑全国高中数学竞赛专题-三角函数 三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。定义2 角度制把一周角360等分，每一等分为一度。弧度制把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|=r L ,其中r 是圆的半径。定义3 三角函数在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取 一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），
2、到原点的距离为r,则正弦函数s in =r y ,余弦函数co s =r x , 正切函数tan =x y ，余切函数cot =y x ，正割函数se c =x r ,余割函数c s c =.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系tan =cot 1,s in =csc 1，co s =sec 1 ；商数关系tan = sin cos cot ,cos sin=；乘积关系tan co s =s in ,cot s in =co s ；平方关系s in 2+co s 2=1, tan 2+1=se c 2, cot 2+1=c s c 2. 定理2 诱导公式（）s in (+)=-s
3、 in , co s(+)=-co s , tan (+)=tan , cot (+)=cot ; （）s in (-)=-s in , co s(-)=co s , tan (-)=-tan , cot (-)=cot ; （）s in (-)=s in , co s(-)=-co s , tan=(-)=-tan , cot (-)=-cot ; （）s in -2=co s , co s -2=s in , tan -2=cot （奇变偶不变，符号看象限）。定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=s inx （x R ）的性质如下。单调区间在区间 + - 22,2 2 k k 上为增函数
4、，在区间 + 232,22k k 上为减函数， 最小正周期2. 奇偶性奇函数 有界性当且仅当x=2kx +2时，y 取最大值1，当且仅当x=3k -2 时, y 取最小值-1，值域为-1，1。对称性直线x=k + 2 均为其对称轴，点（k , 0）均为其对称中心。这里k Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=co s x (x R )的性质。单调区间在区间2k , 2k +上单调递减，在区间2k -, 2k 上单调递增。最小正周期2。奇偶性偶函数。有界性当且仅当x=2k 时，y 取最大值1；当且仅当x=2k -时，y 取最小值-1。值域为-1，1。对称性直线x=k 均为其对称轴，点
5、+ 0,2 k 均为其对称中心。这里k Z . 定理5 正切函数的性质由图象知奇函数y=tanx (x k + 2)在开区间(k -2, k +2 )上为增函数, 最小正周期为，值域为（-，+），点（k ，0），（k +2 ，0）均为其对称中心。定理6 两角和与差的基本关系式co s()=co s co s s in s in , s in ()=s in co s co s s in ; tan ()=.) tan tan 1() tan (tan 两角和与差的变式2222 sin sin cos cos sin()sin()-=-=+- 2222 cos sin cos sin cos()
6、cos()-=-=+- 三角和的正切公式tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan +-+=- 定理7 和差化积与积化和差公式: s in +s in =2s in +2co s -2, s in -s in =2s in +2co s -2, co s +co s =2co s +2co s -2, co s -co s =-2s in +2s in -2, s in co s =21s in (+)+s in (-), co s s in =21 s in (+)-s in (-), co s co s =21co s(+)+
7、co s(-), s in s in =-2 1 co s(+)-co s(-). 定理8 二倍角公式s in 2=2s in co s , co s2=co s 2-s in 2=2co s 2-1=1-2s in 2, tan 2=.) tan 1(tan 22 - 三倍角公式及变式3 sin 33sin 4sin =-，3 cos34cos 3cos =- 1s i n (60)s i n s i n (60)s i n 34 -+=，1 cos(60)cos cos(60)cos34 -+=定理9 半角公式: s in 2=2)cos 1(-, co s 2 =2)cos 1(+, t
8、an 2=)cos 1() cos 1(+-=.sin )cos 1() cos 1(sin -=+ 定理10 万能公式: + =2tan 12tan 2sin 2, + -=2tan 12tan 1cos 22,.2tan 12tan 2tan 2 - = 定理11 辅助角公式如果a , b 是实数且a 2+b 20，则取始边在x 轴正半轴，终边经过点(a , b )的一个角为， 则s in =22b a b +,co s =2 2b a a +，对任意的角.a s in +bco s =)(22b a +s in (+). 定理12 正弦定理在任意ABC 中有R C c B b A a 2
9、sin sin sin=， 其中a , b , c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。定理13 余弦定理在任意ABC 中有a 2=b 2+c 2-2bco s A ，其中a ,b ,c 分别是角A ，B ，C 的对边。定理14 射影定理在任意ABC 中有cos cos a b C c B=+，cos cos b a C c A=+，cos cos c a B b A=+ 定理15 欧拉定理在任意ABC 中，2 2 2OI R Rr=-，其中O,I 分别为ABC 的外心和内心。定理16 面积公式在任意ABC 中，外接圆半径为R,内切圆半径为r ，半周长2 a b c p
10、+=则211sin 2sin sin sin (sin sin sin )224a abc S ah ab C rp R A B C rR A B C R=+ 222 1)(c o t c o t c o t )4 c a A b B c C=+ 定理17 与ABC 三个内角有关的公式（1）sin sin sin 4cos cos cos ;222 A B C A B C +=（2）cos cos cos 14sin sin sin ;222 A B C A B C +=+ （3）tan tan tan tan tan tan ;A B C A B C +=（4）tan tan tan tan
11、 tan tan 1;222222 A B B C C A +=（5）cot cot cot cot cot cot 1;A B B C C A +=（6）sin 2sin 2sin 24sin sin sin .A B C A B C +=定理18 图象之间的关系y=s inx 的图象经上下平移得y=s inx +k 的图象；经左右平移得y=s in (x +)的图象（相位 变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ，得到y=s in x (0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y=A s inx 的图象（振幅变换）；y=A s in (x +)(0)的图象（周期变
12、换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到y=A s inx 的图象（振幅变换）；y=A s in (x +)(, 0)(|A | 叫作振幅)的图象向右平移 个单位得到y=A s in x 的图象。定义4 函数y=s inx -2,2x 的反函数叫反正弦函数，记作y=a r c s inx (x -1, 1)， 函数y=co s x (x 0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作y=a r cco s x (x -1, 1). 函数y=tanx - 2,2x 的反函数叫反正切函数。记作y=a r ctanx (x -, +). 函数y=co t x (x 0, )的反函数称为反余切函数，记作y
13、=a r ccotx (x -, +). 定理19 三角方程的解集，如果a (-1,1)，方程s inx=a 的解集是x |x=n +(-1)n a r c s ina , n Z 。方程co s x=a 的解集是x |x=2kx a r cco s a , k Z . 如果a R ，方程tanx=a 的解集是x |x=k +a r ctana , k Z 。恒等式a r c s ina +a r cco s a=2；a r ctana +a r ccota=2 . 定理20 若干有用的不等式（1）若 2, 0x ，则s inx （2）函数sin x y x=在(0,)上为减函数；函数tan
14、x y x=在(0,)2 上为增函数。（3）嵌入不等式设A+B+C=，则对任意的x,y,z R ， 有2 2 2 2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C + 等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC. 二、方法与例题 1结合图象解题。例1 求方程s inx=lg |x |的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数y=s inx 与y=lg |x |的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。2三角函数性质的应用。例2 设x (0, ), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。【解】 若 ,2x ，则-1所以s in (co s x ) 0,又02x ，则因为s inx +co s x=2s in (x + 4)2， 所以co s(s inx )co s( 2 -co s x )=s in
