八年级下册第 18 章.勾股定理学问点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；222表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 a b c勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了 “勾三,股四,弦五 ”形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变②依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4S S正方形 EFGHS正方形 ABCD, 41 ab2〔b a〕22c,化简可证．DCHE GFb aA c B方法二：b aac c bb c caa b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1 ab c222ab c22 2 2大正方形面积为 S〔 a b〕 a 2ab b所以 a 2 b 2 c2S 1 〔a b〕 〔a b〕 S 2S S2 1 ab1 c2梯形方法三： 2梯形 ADE ABE,2 2 ,化简得证A aDbcc EaB b C３ .勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形４ .勾股定理的应用222222①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 ABC 中,C 90,就 c ab , b ca , a c b②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定懂得决一些实际问题５ .勾股定理的逆定理22假如三角形三边长 a, b , c 满意 a bc2 ,那么这个三角形是直角三角形,其中 c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 “数转化为形 ”来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时,可用两小边的平方和a2 b 2 与较长边的平方c2 作比较,如它们相等时,以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形；如a2 b2c2 ,时,以 a , b ,222c 为三边的三角形是钝角三角形；如 a b c ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形；2 2 2②定理中 a , b , c 及 a b c 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长 a ,22b , c 满意 a cb2 ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时, 这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2 b2c 2 中, a , b , c 为正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示 n 组勾股数：2 22n 1,2n, n1（ n2, EMBED Equation.DSMT4 n 为正整数）；222n 1,2n2n,2 n2n 1 （ n 为正整数）22 2m n ,2 mn,mn （ m n,EMBED Equation.DSMT4 m , n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线）,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解．８ .．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角 形,在详细推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９ .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中,是密不行分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决．常见图形：CC C30°AB A D B B D ACB D A题型一：直接考查勾股定理例１ .在 ABC ABC 中, C 90C 90 ．⑴已知 AC6 AC6 , BC8 BC8 ．求 AB AB 的长2222⑵已知 AB17 AB17 , AC15 AC15 ,求 BC BC 的长222222分析：直接应用勾股定理 a bc a b c解：⑴AB ACBC 10AB ACBC 102⑵ BC AB2AC 82BC AB2AC 8题型二：应用勾股定理建立方程例２ .⑴ 在 ABC ABC 中 ,ACB 90ACB90 , AB5 AB5 cm , BC3 BC3 cm ,CD AB CD AB 于 D D , CD CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为 3: 4 3: 4 ,斜边长为 15 15 ,就这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为 30 30 cm ,斜边长为 13 13 cm ,就这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可依据勾股定理列方程求解解：2 2⑴ AC AB BC2 24 AC AB BCCD AC BC4 , AB2.4 CDAC BC AB2.4AD2 2 2B C⑵ 设 两 直 角 边 的 长 分 别 为 3k 3k , 4k EMBED Equation.DSMT4〔3k 〕 〔4 k〕 15 ,k 3 k3 , S54 S 54⑶ 设 两 直 角 边 分 别 为 a a , b , 就 a b17 a b17 , ab2 289 a 2b2 289, 可 得ab 60 ab 60S 1 ab230EMBED Equation.DSMT42cm2例 ３ . 如 图 ABC ABC 中 ,C 90C 90, 1 2 1 2 , CD1.5 CD1.5 ,BD 2.5 BD2.5 ,求 AC AC 的长CD1BA 2E分析：此题将勾股定理与全等三角形的学问结合起来解：作 DE AB DE AB 于 E E ,1 2 ,C 90C 90DE CD 1.52222在 BDE BDE 中BED90 , BE BD DE 2BED90 , BE BD DE 2Rt ACD Rt AED Rt ACD Rt AED AC AE AC AE在 Rt ABC Rt ABC 中, C 90C 90AB 2AC 2BC 2AB2AC 2BC2 〔 AE EB 〕2 AC22 24 〔 AE EB 〕 AC224 AC 3,例 4. （ 2022.安徽省 ,第 8 题 4 分）如图, Rt△ ABC 中, AB=9, BC=6,∠ B=90°,将△ ABC 折叠,使 A 点与 BC 的中点 D 重合,折痕为 MN,就线段 BN 的长为（ ）A ． B． C． 4 D． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设 BN= x,就由折叠的性质可得 DN=AN =9﹣ x,依据中点的定义可得 BD=3,在 Rt△ ABC中,依据勾股定理可得关于 x 的方程,解方程即可求解． 解答： 解：设 BN=x,由折叠的性质可得 DN =AN=9﹣x,∵ D 是 BC 的中点,∴ BD=3 ,在 Rt△ ABC 中, x2+32=（ 9﹣ x） 2, 解得 x=4．故线段 BN 的长为 4． 应选： C．点评： 考查了翻折变换（折叠问题）,涉及折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想, 综合性较强,但是难度不大．例 5.已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在, 边 CD上取一点 E,将△ ADE折叠使点 D恰好落在 BC 边上的点 F,求 CE的长 .解析： 解题之前先弄清晰折叠中的不变量；合理设元是关键；解： 依据题意得 Rt△ADE≌Rt△AEF∴∠ AFE=90°, AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,就 DE=EF=C－D CE=8－x在 Rt△ABF 中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2,即 82+BF2=102,∴BF=6cm∴CF=BC－ BF=10－6=4〔cm〕在 Rt△ECF中由勾股定理可得：2 2 2 2 2 2EF=CE+CF,即 〔8 － x〕 =x +42∴64－ 16x+x =2+16∴ x=3〔cm〕, 即 CE=3 cm题型三：实际问题中应用勾股定理例 6.如图,有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上,请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图,然后再求解）．分析： 依据题意画出图形,构造出直角三角形,利用勾股定理求解． 解答： 解：如下列图,过 D 点作 DE ⊥AB ,垂足为。