精品学习资源第九章 从面积到乘法公式 单元总结提升单元总结归纳一、本章的学问框图二、重点、难点突破重点：〔 一〕 单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，就连同它的指数作为积的一个因式 .〔二〕单项式乘以多项式1. 单项式与多项式的相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 . 即a〔b＋ c＋ d〕= ab ＋ ac＋ ad.2. 其几何意义为：3. 单项式与多项式相乘的步骤：〔1〕按乘法安排律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；欢迎下载精品学习资源〔2〕进行单项式的乘法运算 .〔三〕多项式乘以多项式1. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .2. 其几何意义为：3. 多项式与多项式相乘的步骤：〔1〕用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；〔2〕把所得的积相加 .〔四〕乘法公式2 2 21. 完全平方式公式： 〔a± b〕 = a ± 2ab+b .〔1〕特点： 完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方， 右边是三项， 其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另哪一项左边二项式中两项乘积的 2 倍. 可概括为“首平方，尾平方，乘积 2 倍放中心，中心符号回头望” .〔2〕语言表达：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的 2 倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的 2 倍的差2 2 2 2 2 2〔3〕几何意义： 〔a+b〕 = a +2ab+b 、 〔a-b 〕 =a -2ab+b欢迎下载精品学习资源222. 平方差公式： 〔a+b〕〔a-b 〕=a -b .〔1〕特点： 公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差， 而公式的右边恰好是这两个数的平方差 .〔2〕语言表达：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差 .〔3〕几何意义：5. 因式分解〔1〕因式分解与整式乘法的区分与联系：把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解 . 它与整式乘法是两种互逆的恒等变形 .〔2〕提公式法分解因式：提公因式的依据是乘法安排律，其实质是安排律的“逆用” ；提公因式分解因式的步骤是： a. 找出多项式各项的公因式； b. 提出多项式的公因欢迎下载精品学习资源式；提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式， 当一个多项式的公因式正确找出 后，需要提取公因式， 此时可以直接观看出提出公因式后剩下的另一个公因式； 也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后，剩下的另一个因式 .〔3〕公式法分解因式：2 2平方差公式分解因式： a － b =〔a+b〕〔a － b〕 ，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积 .2 2 2完全平方公式分解因式： a ± 2ab＋ b ＝ 〔a ± b〕 ，两个数的平方和加上〔或减去〕这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和〔或差〕的平方 .难点：1. 单项式与单项式相乘，应留意：〔1〕先把各因式里的系数组成一组， 积的系数等于各因式系数的积， 即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再运算肯定值；〔2〕相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法就“底数不变，指数相加” ；〔3〕对于只在一个单项式中显现的字母， 应连同它的指数一起写在积里， 留意不能漏掉这部分因式；〔4〕单项式乘法中假设有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的次序进行；〔5〕单项式与单项式相乘的积仍是单项式， 对于字母因式的幂的底数是多项式形式的， 应将其作为一个整体来运算；〔6〕对于三个或三个以上的单项式相乘，法就仍适用 .2. 单项式与多项式相乘应留意：〔1〕单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；〔2〕运算时要留意符号问题， 多项式中每一项都包括它前面的符号， 为了防止发生符号上的错误，运算时可以分为两步：先把“ - ”号放在括号外，把单项式与多项式相乘，然后去括号；〔3〕在混合运算时，要留意运算次序，结果 有同类项的要进行合并 .3. 多项式乘以多项式应留意：〔1〕运算时要按肯定的次序进行， 防止漏项， 积的项数在没有合并同类项之前， 应是欢迎下载精品学习资源两个多项式项数的积；〔2〕多项式是几个单项式的和， 每项都包括前面的符号， 在运算时要正确确定积中各项的符号；〔3〕运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列 .4. 乘法公式〔 1〕运用完全平方公式时应留意： 明确使用和的完全平方公式仍是差的完全平方公式；分清公式中的 a、b 分别代表什么；结果是三项式，首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方，中间项是左边两项的积的二倍，特殊是中间项的二倍不能遗忘 .〔2〕运用平方差公式时应留意： 第一明确能否利用平方差公式运算 〔能利用平方差的 标准是一个二项式是两数的和， 另一个二项式是这两数的差， 我们把符号相同的数看作是 a， 把符号相反的项看作是 b〕；结果是平方差，且两个数 〔 项〕 的位置不能弄错；必需留意系数、指数的变化〔3〕敏捷应用乘法公式第一必需做到心中牢记公式的“模样” ，在此前提下再仔细地对题目进行细致观看， 想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧， 把式子凑成公式的“模样”，然后就可以应用公式进行运算了，这里关键是要善“变” .5. 因式分解〔1〕对因式分解结果的商定：a. 与原多项式相等； b. 为积的形式， 即从整体上看， 最终结果应是一些因式的乘积；c. 每个因式都是整式； d. 在指定数集里，每个多项式不能再分解 .e. 形式最简 .〔2〕用提公因式法分解因式应留意：a. 公因式要提尽； b. 当心漏项，提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数应当相同； c. 提取公因式后的多项式首项一般取正号； d. 分解因式与整式的乘法是互逆的过程， 所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性； e. 把含有相同字母的式子作为公因式提出来时， 要特殊留意统一式子中字母的次序； f. 提公因式要洁净完全， 也就是说当把多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应当再不能提出公因式了 .(3) 使用公式法分解因式：假如多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式； 假如多项式是三项， 其中两项同号， 且能写成两数的平方和的形式，另哪一项这两数乘积的 2 倍，可以运用完全平方公式分解 . 有时多项式不能直接使用公式时，仍可以适当将它们变形 .- 5 -欢迎下载精品学习资源(4) 综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要留意 :1. 假如多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解 ;2. 分解因式必需分解到每个多项式的因式都不能再分解为止 ;3. 因式分解的结果必需是几个整式的积的形式 .即：“一提”、“二套”、“三查” . 特殊强调“三查” ，检查多项式的每一个因式是否仍能连续分解因式，仍可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确 .整合拓展创新类型之一、 基本概念型例 1 以下变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？2 3 2 3 2欢迎下载精品学习资源〔1〕8ab c=2a b· 2b · 2c 〔2〕3a+6a=3a〔a+2〕欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源〔3〕x 2－1 =〔x+y 21 〕〔x － 1 〕y y欢迎下载精品学习资源〔4〕x 2－ 4+3x=〔x+2〕〔x － 2〕+3x2 2(5) ma+mb+na+nb=m〔a+b〕+n〔a+ b〕 〔6〕〔2a+5b〕〔2a － 5b〕=4a － 25b【思路分析 】因式分解必需是左边是多项式，右边整体是积，且每个因式都是整式，它与整式乘法是互逆的恒等变形 .解：〔2〕是因式分解， 〔6〕是整式乘法 .【点评 】此题旨在复习同学对因式分解与整式乘法的熟悉 .2变式题 以下变形中，因式分解对不对？为什么？欢迎下载精品学习资源22222〔1〕xy－ xy=xy〔x － y〕欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3〔2〕a－ 2ab+ab=a〔a － b〕=a〔a－ 2ab+b 〕欢迎下载精品学习资源22〔3〕6 ab－ 4ab +2ab=2ab〔3a － 2b〕〔4〕4a 2－ 100=〔2a+10〕〔2a － 10〕欢迎下载精品学习资源222〔5〕a － b =〔a － b〕提示： 第〔 2〕题提取公因式 a 后，括号里是 a2-2b+b2 ，不是完全平方式；第〔 3〕显现了漏项；第〔 4〕题没有分解完全，应先提取公因式 4，再用平方差公式；第〔 5〕题混淆了两个乘法公式 .解：只有〔 1〕是正确的 .【说明 】此题旨在提示同学常显现的错误， 1、剩下的 1 漏写； 2、没有先提公因式分解不完全； 3、平方差与差平方相混， 特殊是 〔2〕 中是同学常见错误类型， 缘由是同学对整式乘法先入为主，而对因式分解的本质没有完全懂得，形成心理学上的“倒摄抑制”效应，应提示同学留意 .类型之二、基本运算型1. 整式乘法的运算2222例 2 先规定一种运算： a＊ b=ab+a-b ，其中 a、b 为有理数，就 a＊ b+〔b-a 〕＊ b 等于〔 〕欢迎下载精品学习资源A.a-b ； B.b-b ； C.b； D.b-a.欢迎下载精品学习资源【思路分析 】在〔 b-a 〕＊ b 中，把〔 b-a 〕看作是规定运算中的 a，展成一般形式后用整式的乘法进行运算 .2解： a＊ b+〔 b-a 〕＊ b= ab+a-b+[ 〔 b-a 〕 b+〔 b-a 〕 -b]= ab+a-b+[b 2-ab+b-a-b]=欢迎下载精品学习资源2ab+a-b+b-ab-a= b-b. 选 B.欢迎下载精品学习资源【点评 】解决这类问题，理清题目意思是解题关键 .2 2 1 1 3 3 1 2 4 2x +3xy-y ， B=- xy， C= x y - x y . 求： 2AB -C284变式题 已知： A=2 .2提示：直接代入运算，在复杂的式子运。
