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1、.专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1XX省XX市第二中学2018届高三上学期期中已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.求椭圆的标准方程；证明：在轴上存在定点,使得为定值；并求出该定点的坐标.答案12解析试题分析：设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程；设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得。设x轴上的定点为,可得,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。解得。椭圆的标准方程为.证明：由题意设直线的方程为,由消去y整理得,设,要使其为定值,需满足,解得.故定点的坐标为
2、.点睛：解析几何中定点问题的常见解法假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意2XX省XX市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考已知斜率为的直线经过点与抛物线为常数交于不同的两点,当时,弦的长为.1求抛物线的标准方程；2过点的直线交抛物线于另一点,且直线经过点,判断直线是否过定点？若过定点,求出该点坐标；若不过定点,请说明理由.答案1;2直线过定点解析试题分析：1根据弦长公式即可求出答案；2由1可设,则,则；同理：.由在直线上1；由在
3、直线上将1代入2将2代入方程,即可得出直线过定点2设,则,则即；同理：；.由在直线上,即1；由在直线上将1代入2将2代入方程,易得直线过定点3XX省XX市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考已知抛物线过点,是上一点,斜率为的直线交于不同两点不过点,且的重心的纵坐标为.1求抛物线的方程,并求其焦点坐标；2记直线的斜率分别为,求的值.答案1方程为;其焦点坐标为2解析试题分析;1将代入,得,可得抛物线的方程及其焦点坐标；2设直线的方程为,将它代入得,利用韦达定理,结合斜率公式以及的重心的纵坐标,化简可的值；因为的重心的纵坐标为,所以,所以,所以,所以,又.所以.4已知椭圆的短轴端点到右焦点
4、的距离为2求椭圆的方程；过点的直线交椭圆于两点,交直线于点,若,求证：为定值答案;详见解析.解析试题分析：利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；联立直线和椭圆的方程,得到关于或的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明. 由题意直线过点,且斜率存在,设方程为,将代人得点坐标为,由,消元得,设,则且,方法一：因为,所以. 同理,且与异号, 所以. 所以,为定值.当时,同理可得. 所以,为定值.同理,且与异号, 所以. 又当直线与轴重合时,所以,为定值.点睛本题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关于或的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解,因为
5、直线过点,在设方程时,往往设为,可减少讨论该直线是否存在斜率.5XX省XX南山中学2017-2018学年高二上学期期中考设抛物线：,为的焦点,过的直线与相交于两点.1设的斜率为1,求；2求证：是一个定值.答案 2见解析解析试题分析：1把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；2把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；2证明：设直线的方程为,由得,是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键,考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方
6、便.6XXXX市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末已知椭圆C:的离心率为,右焦点为.求椭圆C的方程;若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.答案 ,O到直线 的距离为定值.解析试题分析：1根据焦点和离心率列方程解出a,b,c；2对于AB有无斜率进行讨论,设出A,B坐标和直线方程,利用根与系数的关系和距离公式计算；有OAOB知x1x2+y1y2=x1x2+ =x1x2+km=0 代入,得4m2=3k2+3原点到直线AB的距离 , 当AB的斜率不存在时,可得, 依然成立.所以点O到直线的距离为定值 . 点睛： 本题考查了椭圆的性质,直线与圆
7、锥曲线的位置关系,分类讨论思想,对于这类题目要掌握解题方法设而不求,套用公式解决7XX省XX市石室中学2017-2018学年高二10月月考已知双曲线渐近线方程为,为坐标原点,点在双曲线上求双曲线的方程；已知为双曲线上不同两点,点在以为直径的圆上,求的值答案；.解析试题分析：1根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程,代入点M的坐标求得参数即可；2由条件可得,可设出直线的方程,代入双曲线方程求得点的坐标可求得。由题意知。设直线方程为,由 ,解得,。由直线方程为.以代替上式中的,可得。 8XX省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考已知椭圆E:经过点P,且离心率为求椭圆的标
8、准方程；设O为坐标原点,在椭圆短轴上有两点M,N满足,直线PM、PN分别交椭圆于A,B探求直线AB是否过定点,如果经过定点请求出定点的坐标,如果不经过定点,请说明理由答案1；2直线AB过定点Q0,2.解析试题分析：1根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；2先由特殊情况得到结果,再考虑一般情况,联立直线和椭圆得到二次函数,根据韦达定理,和向量坐标化的方法,得到结果。x1+x2=,x1x2=, 又直线PA的方程为y1=x2,即y1=x2,因此M点坐标为0,同理可知：N0,当且仅当t=2时,对任意的k都成立,直线AB过定点Q0,2.9广西XX市第十八中学2018届高三上学期第三次月考已知椭圆的左,右焦点分
9、别为.过原点的直线与椭圆交于两点,点是椭圆上的点,若,且的周长为.1求椭圆的方程；2 设椭圆在点处的切线记为直线,点在上的射影分别为,过作的垂线交轴于点,试问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.答案;1.解析试题分析;1设,则,设, ,以及, ,由,由椭圆的定义可得,结合,综合可得：,可得椭圆的方程；2由1知,直线的方程为：,由此可得.,又,的方程为,可得则可得,又,.,故.当直线平行于轴时,易知,结论显然成立.综上,可知为定值1.有,则,综合可得：椭圆的方程为：.2由1知,直线的方程为：即：,所以.,的方程为,令,可得,则又点到直线的距离为,.当直线平行于轴时,易知,结论显然成
10、立.综上,.点睛本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,直线与圆的位置关系,是解析几何的综合应用,难度较大10XX省XX第一中学2018届高三上学期第三次月考在平面直角坐标系xOy中,直线与抛物线y24x相交于不同的A,B两点,O为坐标原点 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1,求的值；2如果,证明：直线必过一定点,并求出该定点.答案18；2证明见解析解析试题分析：根据抛物线的方程得到焦点的坐标,设出直线与抛物线的两个交点和直线方程,是直线的方程与抛物线方程联立,得到关于y的一元二次方程,根据根与系数的关系,求出弦长；设出直线的方程,同抛物线方程联立,得到关于y的一元二次方程,根据
11、根与系数的关系表示出数量积,根据数量积等于4,做出数量积表示式中的b的值,即得到定点的坐标令b24b4,b24b40,b2,直线l过定点若4,则直线l必过一定点点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定定点是什么、定值是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.11XX省XX市第一中学2017-2018学年高二上学期期中已知椭圆,且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为,最小距离为.1求椭圆的方程；2过点的动直线交椭圆于两点,试
12、问：在坐标平面上是否存在一个定点,使得以线段为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标：若不存在,请说明理由.答案 椭圆方程为; 以线段为直径的圆恒过点.当与轴平行时,以线段为直径的圆的方程为.故若存在定点,则的坐标只可能为.下面证明为所求：若直线的斜率不存在,上述己经证明. 若直线的斜率存在,设直线,即以线段为直径的圆恒过点.点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目,证明定值定点问题。第一问考查几何意义,第二问是常见的将图的垂直关系,转化为数量关系,将垂直转化为向量点积为0 ,再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题,可以先通过特殊位置猜出结果,再证明。12XX省XX市新津中学2018
13、届高三11月月考已知椭圆的离心率为,且过点.1求椭圆的方程；2设是椭圆长轴上的一个动点,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,求证：为定值.答案1；2证明见解析.解析试题分析：1由椭圆的离心率,求得,由,得,将点代入,即可求得和的值,求得椭圆方程；2设,直线的方程是与椭圆的方程联立,利用韦达,根据两点间的距离公式将用表示,化简后消去即可得结果.定值,为定值.方法点睛本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题,属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关；直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量
14、,从而得到定值.13北京XX日坛中学2016-2017学年高二上学期期中已知椭圆的离心率为,半焦距为,且,经过椭圆的左焦点,斜率为的直线与椭圆交于, 两点,为坐标原点I求椭圆的标准方程II设,延长, 分别与椭圆交于, 两点,直线的斜率为,求证：为定值答案I；II见解析.解析试题分析：I依题意,得,再由求得,从而可得椭圆的标准方程;II设, 可求得直线的方程为,与椭圆方程联立,由韦达定理可求得,进一步可求, 同理,从而可得,化简运算即可.试题解析：I由题意,得解得,故椭圆的方程为点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系,是高考的必考点,属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程,求出即可,注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时,未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程
