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1、第6章计算机控制系统的控制规律剖析第6章计算机控制系统的控制规律(2)剖析图6.8 数字控制系统结构框图D(z)数字控制器； Gh(s)保持器(本书用零阶保持器)；G0(s)控制对象传递函数； (z)系统闭环脉冲传递函数；R(z)输入信号的Z变换； Y(z)输出信号的Z变换。设计步骤： (1) 根据控制系统的性能指标要求和其他约束条件， 确定所需的闭环脉冲传递函数(z)。 (2) 求广义对象(零阶保持器和对象)的脉冲传递函数HG(z), (6-10) (3) 求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)。由图可得系统闭环脉冲传递函数为 (6-11) 由式(6-11)可得数字控制器的脉冲传递函数 (6-
2、12) (4) 实现D(z)，编写控制算法。 实现D(z)即根据D(z)求取控制算法的递推计算公式u(k)，并编写程序求u(k)。6.4.1 最少拍无差系统的设计1. 最少拍系统的脉冲传递函数 典型的最少拍随动系统如图所示。图6.9 最小拍随动系统结构框图最少拍随动系统的误差传递函数为 (6-14) 由式(6-13)和式(6-14)可得出最少拍随动系统的数字控制器为 (6-15) 或 (6-16)由数字控制系统理论可知，其闭环脉冲传递函数为 (6-13)在一般的自动控制系统中， 有3种典型输入形式。 (1) 单位阶跃输入: (6-17) (2) 单位速度输入: (T为采样周期) (6-18)
3、(3) 单位加速度输入: (T为采样周期) (6-19) 由式(6-17)、 式(6-18)和式(6-19)可得出调节器输入共同的Z变换形式 (6-20)将式(6-20) 代入式(6-14)得 为使E(z)有尽可能少的有限项，要选择适当的Ge(z)。利用Z变换的终值定理，稳态误差为上式表明，使e(kT)为零的条件是Ge(z)中包含(1-z-1)m的因子。例如选择 Ge(z)=(1z1)MF(z) (Mm)(6-21)当选择M=m，且F(z)=1时，不仅可以简化数字控制器，降低阶数，而且还可以使E(z)的项数最少，因而调节时间ts最短。 F(z)=1 的意义是使(z)的全部极点均位于Z平面的原点
4、。据此对于不同的输入，可以选择不同的误差传递函数Ge(z)，详见表6-4，实现最少拍无差系统。 表6-4 3种典型输入的最少拍系统2. 最少拍系统数字控制器的设计方法 最少拍系统数字控制器的设计，就是根据式(6-16)求出其脉冲传递函数D(z)， 其中，误差传递函数Ge(z)可根据输入函数的形式由表6-4查出，广义对象脉冲传递函数HG(z)则需要根据被控对象的实际数学模型，由Z变换公式求出，然后代入式(6-16)即可。 【例6-1】 设最少拍系统如前图所示。被控对象的传递函数为，采样周期Ts，试设计一个在单位速度输入时的最少拍数字控制器D(z)。 解： 根据前图可写出该系统的广义对象脉冲传递函
5、数为在单位速度输入下，由表6-4查得 Ge(z)=(1z1)2 所以，由式(6-16)可写出数字控制器的脉冲传递函数为 下面分析数字控制器D(z)对系统的控制效果的影响。 设(z)按单位速度输入时，由表6-4可以查出系统闭环脉冲传递函数为 (z)=2z1z2此时，系统输出序列的Z变换为 (6-22) 式中各项系数为在各个采样时刻的数值，即 Y(0)=0T， Y(T)=0T， Y(2T)=2T， Y(3T)=3T， Y(4T)=4T， 其输出曲线如下图所示。从图中可看出，当系统为单位速度输入时，经过两拍以后，输出量完全等于输入采样值，即Y(kT)=R(kT)。但在各采样点之间还存在着一定的误差，
6、即存在着一定的纹波。 图6.10 单位速度输入时最少拍系统输出响应曲线设输入为单位阶跃函数，系统输出序列的Z变换为 (6-23) 由式(6-23) 得输出序列为 Y(0)=0，Y(T)=2，Y(2T)=1，Y(3T)=1，Y(4T)=1， 其输出响应曲线如图所示。由图可见，对于按单位速度输入设计的最少拍系统，当为单位阶跃输入时，经过两个周期使Y(kT)=R(kT)。但当k=1时，将有一定的超调量。 图6.11 单位阶跃输入时最少拍系统输出响应曲线若输入为单位加速度，则输出量的Z变换为 (6-24) 由式(6-24) 可得 Y(0)=0，Y(T)=0，Y(2T)=T2，Y(3TT2，Y(4T)=
7、7T2， 输入序列R(0)=0，R(TT2，R(2T)=2T2，R(3TT2，(4T)=8T2, 。可见，输出响应与输入之间始终存在着偏差，如图所示。 图6.12 单位加速度输入时最少拍系统输出响应曲线结果分析：1）在各种典型输入作用下，动态过程均为二拍；2）单位阶跃和速度输入在采样时刻均无稳态误差，但加速度输入有稳态误差；3）单位速度输入的动态特性较好，单位阶跃输入的动态特性较差；4）在非采样时刻输出存在纹波。结论：最少拍无差系统的调节时间，只与所选择的(z)和Ge(z)的形式有关，而与典型输入信号的形式无关。即最小拍无差系统对输入信号变化的适应性较差。说明： 在最少拍系统D(z)的设计过程
8、中，对被控对象HG(z)并未提出具体限制。实际上只有当广义对象的脉冲传递函数HG(z)稳定时，即在单位圆上（除(1, j0)外）或圆外没有零点、 极点，而且不含有纯滞后环节z1时，所设计的最少拍系统才是正确的。此被控对象被称为理想的被控对象。 但如果上述条件不能满足，被控对象为非理想的被控对象，应对上述的设计原则做一些相应的限制。非理想被控对象的稳定性分析：1）采样点上的稳定性 由式(6-16)可导出系统闭环脉冲传递函数为 (z)=D(z)Ge(z)HG(z) (6-25) 为了保证离散闭环系统稳定，其闭环脉冲传递函数(z)的所有极点必须在单位圆内，称离散系统在采样点上是稳定的。2）计算机控制
9、系统的稳定性 由于计算机控制系统所控制的是连续变化的模拟参数，在保证系统采样点上稳定的前提下，还进一步要求系统的连续输出也是稳定的。以保证整个计算机控制系统的稳定。由于系统的连续输出的稳定与D(z)、U(z)有关，因此要求D(z)、U(z)的所有极点也必须在单位圆内。 (6-26)综上所述，闭环脉冲传递函数(z)和误差传递函数Ge(z)的选择必须有一定的限制。 (1) 数字控制器D(z)在物理上应是可实现的有理多项式， 即 (6-27) 其中， (j=1,2, ,n) 和 (i=1,2, ,m)为常系数，且nm。(2) HG(z)所有的不稳定极点都应由Ge(z)的零点来抵消。 (3) HG(z
10、)中在单位圆上或单位圆外的零点都应包含在(z)=1Ge(z)中(这将导致调整时间的延长) 。 (4) 若HG(z)中包含纯滞后环节z ，则(z)=1Ge(z)应中也应包含z 因子对纯滞后进行补偿。按照上述设计思想，拟定(z)和Ge(z)形式： （6-28） 用以补偿纯滞后； 是HG(z)中的第i个单位圆上或单位圆外的零点； F(z)是不包含 因式的 多项式，其项数及每项前的待定系数按照系统的结构约束，随着(z)的变化而变化； 是HG(z)中的第k个不稳定的极点【例6-2】 设最少拍系统如前图所示。被控对象的传递函数，设采样周期Ts，试设计一个在单位阶跃输入时的最少拍数字控制器D(z)。 解 该
11、系统广义对象的脉冲传递函数为 (6-29)为了满足条件(3)、条件(4)，要求闭环脉冲传递函数(z)中包含z1)项及因子z1。又因为式(6-27)中包含一个极点(z=1)在单位圆上，因此，根据限制条件(2)，Ge(z)必须有一个z=1的零点。故可得 (6-30) 方程组(6-28)中，a，b为待定系数。 由上述方程组可得 (1b)z1+bz2=az1az2 比较等式两边的系数，可得 由此可解得待定系数 a， b=0.597 代入方程组，则 于是，由式(6-16)可求出数字控制器的脉冲传递函数为 上述数字控制器物理上是可以实现的。离散系统经过数字校正后，在单位阶跃作用下，系统输出响应的Z变换为
12、由此可得，Y(0)=0，Y(T，Y(2T)=Y(3T)=Y(4T)=1。 其输出响应特性曲线如图所示。由于闭环传递函数包含了一个单位圆外的零点，所以系统的调节时间延长到了两拍。 图6.13 单位阶跃输入时最少拍系统输出响应曲线6.4.2 最少拍无纹波系统的设计 在上一节介绍的最少拍无差系统设计方法中，系统对输入信号变化的适应能力较差，输出响应只保证采样点上的误差为零，不能确保采样点之间的误差值也为零。也就是说，在最少拍系统中，系统的输出响应在采样点之间有纹波存在。 输出纹波不仅会造成误差，而且还会消耗执行机构的驱动功率，增加机械磨损。 因此，人们希望系统的输出响应要快，同时在采样点之间没有纹波
13、，这就是最少拍无纹波系统。 1. 产生纹波的原因 在数字控制器的输出端，经采样开关后达不到相对稳定，即U(z)值不稳定，因而使系统输出Y(t)在采样点之间产生波动。如果输入偏差E(z)=0，保持器的输入脉冲序列为一恒定值，那么输出量Y(t)就不会在非采样点之间产生纹波。 由此可知，最少拍无纹波系统除保证输出为最少拍外，还必须使U(z)稳定，就是说要求U(z) 为z-1的有限多项式。 由图可以看出 U(z)=D(z)E(z)=D(z)Ge(z)R(z) (6-31)已知在最小拍设计时，Ge(z)的零点完全可以对消R(z)的极点，因此(6-29)表明只要D(z)Ge(z)为z-1的有限多项式，U(
14、z) 也为z-1的有限多项式，从而保证系统无纹波的输出。 已知 ，设广义被控对象的脉冲传递函数为其中， P(z)为HG(z)的零点多项式； Q(z)为HG(z)的极点多项式，则有在上式中， Q(z)总是有限的多项式，不会妨碍D(z)Ge(z)成为z-1的有限多项式，然而P(z)则不然。所以D(z)Ge(z)成为z-1的有限多项式的条件是:(z) 的零点必须抵消HG (z) 的全部零点，即有其中， M(z)为待定的z-1多项式。由此可得到无纹波最小拍系统的附加条件： 当要求最小拍系统无纹波时，闭环系统脉冲传递函数(z) 除了应满足最小拍要求外，其附加条件是(z)还必须包含HG(z)的全部零点，而
15、不论这些零点在z 平面的何处。说明：由于最小拍系统设计的要求是HG(z)在单位圆上及单位圆外无零极点，或可被(z) 或Ge(z)所补偿，所以附加条件要求的(z)包含HG(z)在单位圆内的零点数，就是无纹波最小拍系统比有纹波最小拍系统所增加的拍数。按照上述附加设计条件(1) ，进一步拟定(z)和Ge(z)形式： （6-32） 用以补偿纯滞后； 是HG(z)中的第i个不稳定的零点， 是HG(z)中的第j个稳定的零点； F(z)是不包含 因式的 多项式，其项数及每项前的待定系数按照系统的结构约束，随着(z)的变化而变化； 是HG(z)中的第k个不稳定的极点。2. 最少拍无纹波系统设计举例 如前所述，
16、为了使U(kT)为有限拍，应使D(z)Ge(z)为z1的有限多项式。由式(6-16)可得 (6-33) 由式(6-33)可以看出，HG(z)的极点不会影响D(z)Ge(z)成为z1的有限多项式，而HG(z)的零点则有可能使D(z)Ge(z)成为z1的无限多项式。因此，要使(z)的零点包含HG(z)的全部零点，在最少拍随动系统中，则只要求(z)包括HG(z)的单位圆上(zi=1除外)和单位圆外的零点，这是有无纹波系统设计与最少拍随动系统设计之间的根本区别。【例6-3】设图所示的最少拍随动系统中，假设被控对象为， 采样周期T=1s，试设计一个单位阶跃输入时的最少拍无纹波控制器D(z)。 解 广义对象的传递函数为 经Z变换后可得广义对象的脉冲传递函数为 (6-34)由式(6-34)可知，HG(z)具有z1因子、零点z1=和单位圆上的极点p1=1。根据前面的分析，闭环传递函数(z)应包括z1因子和HG(z)的全部零点，所以有 (z)=1Ge(z)=az1z1) (6-35) Ge(z)应由输入HG(z)的不稳定极点和(z)的阶次决定，所以 Ge(z)=(1z1)(1+bz1) (6-36) 将
