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1、.XX月考联考模拟经典题分类汇编圆锥曲线教师版1已知椭圆的离心率为,过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点,且. 1求椭圆C和直线l的方程；2记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域含边界为D若曲线与D有公共点,试求实数m的最小值答案解:1由离心率,得,即. 2分又点在椭圆上,即. 4分解 得,故所求椭圆方程为. 5分由得直线l的方程为. 6分2曲线,即圆,其圆心坐标为,半径,表示圆心在直线上,半径为的动圆.由于要求实数m的最小值,由图可知,只须考虑的情形.设与直线l相切于点T,则由,得, 10分当时,过点与直线l垂直的直线的方程为,解方程组得. 12分因为区域D内的点的横坐标
2、的最小值与最大值分别为,所以切点,由图可知当过点B时,m取得最小值,即,解得. 14分2. 已知圆C与两圆,外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点的距离的最小值为,点与点的距离为.求圆C的圆心轨迹L的方程；求满足条件的点的轨迹Q的方程；试探究轨迹Q上是否存在点,使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。若存在,请求出点B的坐标；若不存在,请说明理由.答案两圆半径都为1,两圆心分别为、,由题意得,可知圆心C的轨迹是线段的垂直平分线,的中点为,直线的斜率等于零,故圆心C的轨迹是线段的垂直平分线方程为,即圆C的圆心轨迹L的方程为。因为,所以到直线的距离与到点的距离相等,故点的轨迹Q是以
3、为准线,点为焦点,顶点在原点的抛物线,即,所以,轨迹Q的方程是 由得,所以过点B的切线的斜率为,切线方程为,令得,令得,因为点B在上,所以故,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为设,即得,所以当时,当时,所以点B的坐标为或. 3已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上,中心在原点若右焦点到直线的距离为31求椭圆的标准方程；2设直线与椭圆相交于不同的两点当时,求的取值范围答案解：1依题意可设椭圆方程为 ,则右焦点,由题设,解得,4分故所求椭圆的方程为。5分设,P为弦MN的中点,由 得 ,直线与椭圆相交, , 8分,从而, ,又,则： ,即 , 10分把代入得 ,解得 , 12分由得,解得 13分综上求
4、得的取值范围是 14分4本题满分14分 已知椭圆:的一个交点为,而且过点.求椭圆的方程； 设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明：线段的长为定值,并求出该定值.答案解法一:由题意得,解得, 所以椭圆的方程为.4分解法二:椭圆的两个交点分别为, 由椭圆的定义可得,所以, 所以椭圆的方程为.4分 解法一:由可知,设, 直线:,令,得;直线:,令,得; 设圆的圆心为,则,而,所以,所以,所以,即线段的长度为定值.14分解法二:由可知,设, 直线:,令,得;直线:,令,得;则,而,所以,所以,由切割线定理得所以,即线段的长度为定值.14分5设
5、抛物线的方程为,为直线上任意一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,.1当的坐标为时,求过三点的圆的方程,并判断直线与此圆的位置关系； 2求证：直线恒过定点；3当变化时,试探究直线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,有几个这样的点,若不存在,说明理由.答案解：当的坐标为时,设过点的切线方程为,代入,整理得,令,解得,代入方程得,故得, 2分因为到的中点的距离为,从而过三点的圆的方程为 易知此圆与直线相切. 4分2证法一：设切点分别为,过抛物线上点的切线方程为,代入,整理得,又因为,所以5分从而过抛物线上点的切线方程为即又切线过点,所以得 即同理可得过点的切线为,又切线过点,所以得 即6分即
6、点,均满足即,故直线的方程为 7分又为直线上任意一点,故对任意成立,所以,从而直线恒过定点 .8分证法二：设过的抛物线的切线方程为,代入,消去,得即：5分从而,此时,所以切点的坐标分别为,6分因为,所以的中点坐标为故直线的方程为,即.7分又为直线上任意一点,故对任意成立,所以,从而直线恒过定点 .8分证法三：由已知得,求导得,切点分别为,故过点的切线斜率为,从而切线方程为即又切线过点,所以得 即同理可得过点的切线为,又切线过点,所以得 即6分即点,均满足即,故直线的方程为 7分又为直线上任意一点,故对任意成立,所以,从而直线恒过定点 .8分3解法一：由2中两式知是方程的两实根,故有*将,代入上
7、*式得, 9分当时,直线上任意一点均有,为直角三角形； 10分当时,不可能为直角三角形； 11分当时,. 因为,所以若,则,整理得,又因为,所以,因为方程有解的充要条件是.所以当时,有或,为直角三角形.13分综上所述,当时,直线上任意一点,使为直角三角形,当时,直线上存在两点,使为直角三角形；当或时,不是直角三角形.14分解法二：由2知,且是方程的两实根,即,从而,所以当时,即时,直线上任意一点均有,为直角三角形； 10分当时,即时,与不垂直。因为,所以若,则,整理得,又因为,所以,因为方程有解的充要条件是.所以当时,有或,为直角三角形.13分综上所述,当时,直线上任意一点,使为直角三角形,当
8、时,直线上存在两点,使为直角三角形；当或时,不是直角三角形.6本小题满分12分已知椭圆：的离心率为,过坐标原点且斜率为的直线与相交于、,1求、的值；2若动圆与椭圆和直线都没有公共点,试求的取值范围答案1依题意,：,不妨设设、由得,3分所以解得,6分2由消去得,动圆与椭圆没有公共点,当且仅当或9分,解得或9分动圆与直线没有公共点当且仅当,即。解或,10分得的取值范围为12分7本小题满分14分已知椭圆的左,右两个顶点分别为、曲线是以、两点为顶点,离心率为的双曲线设点在第一象限且在曲线上,直线与椭圆相交于另一点1求曲线的方程；2设、两点的横坐标分别为、,证明：；答案1解：依题意可得,1分设双曲线的方
9、程为,因为双曲线的离心率为,所以,即所以双曲线的方程为3分2证法1：设点、,直线的斜率为,则直线的方程为,4分联立方程组5分整理,得,解得或所以6分同理可得,7分所以8分证法2：设点、,则,4分因为,所以,即5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上,所以,即,6分所以,即7分所以8分证法3：设点,直线的方程为,4分联立方程组5分整理,得,解得或6分将代入,得,即所以8分8本小题满分14分已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点1求椭圆S的方程；2如图,M,N分别是椭圆S的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜
10、率为k若直线PA平分线段MN,求k的值；对任意,求证：PABCxyOMN答案解：1在直线中令得；令得, 则椭圆方程为2,M、N的中点坐标为,所以3法一：将直线PA方程代入,解得,记,则,于是,故直线AB方程为代入椭圆方程得,由,因此,法二：由题意设,A、C、B三点共线,又因为点P、B在椭圆上,两式相减得：9、本小题满分14分过双曲线2x2-y2=1上一点A作两条动弦AB, AC,且直线AB, AC的斜率的乘积为3.问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.证明直线BC过定点.答案19. 解:令B,C.当BC与x轴垂直时,有x1=x2, y1= -y2,故:3=x1=,与|x1|矛盾.因此AB不与x轴垂直. . 3分当BC与y轴垂直时,有x1= -x2, y1= y2,故:3=y1= -.因此AB可与y轴垂直, 此时AB的方程为y= -. 5分当BC不与坐标轴垂直时,kABkAC=3,故3=.
