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1、.勾股定理知识总结一基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。即：a2+b2c2要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用：1已知直角三角形的两边求第三边在中,则,2已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边3利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a2+b2c2,那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过数转化为形来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意：1首先确定最大边,
2、不妨设最长边长为：c；2验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2a2+b2,则ABC是以C为直角的直角三角形若c2a2+b2,则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2,则ABC为锐角三角形。定理中,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长,满足,那么以,为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个
3、叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系：a2+b2c2,那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对数形结合的理解我们把题设、结论正好相反的两个命
4、题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。例：勾股定理与勾股定理逆定理 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一：,化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三：,化简得证6：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,为正整数时,称,为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题
5、速度,如；等用含字母的代数式表示组勾股数：为正整数；为正整数,为正整数二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例.在中,已知,求的长已知,求的长分析：直接应用勾股定理解：题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的知二求一的题。把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例题2 如图8,水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分
6、BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.解析：同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图2. 由题意可知ACD中,ACD=90,在RtACD中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾股定理知二求一的类型。标准解题步骤如下仅供参考：解：如图2,根据勾股定理,AC2+CD2=AD2设水深AC= x米,那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52= x+0.52解之得x=2.故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用例题3 如图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且那么DEF是直角三角形吗？为什么？解析：这道题把很多条件都隐藏了
7、,乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由可以设AB=4a,那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在RtAFD 、RtBEF和 RtCDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。 详细解题步骤如下：解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在RtCDE中,DE2=CD2+CE2=2+2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=25a2在DEF中,EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形,且DEF=90.注
8、：本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度例题4 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下：解：根据题意得RtADERtAEFAFE=90, AF=10cm, EF=DE设CE=xcm,则DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102,BF=6cmCF=BCBF=106=4在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2,即 2=x2+4
9、26416x+x2=2+16x=3,即CE=3 cm注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题5 如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边,他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4,矩形ABCD表示桌面形状,在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm,连结MN,测量MN的长度。如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；如果MN=a15,
10、则92+122=81+144=225, a2225,即92+122 a2,所以A不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型,如图6 所示,A点表示控制灯,BM表示人的高度,BCMN,BCAN当头B点距离A有5米时,求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米,由勾股定理,可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六：
11、旋转问题：例1、如图,ABC是直角三角形,BC是斜边,将ABP绕点A逆时针旋转后,能与ACP重合,若AP=3,求PP的长。变式1：如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=,PC=4,求ABC的边长.分析：利用旋转变换,将BPA绕点B逆时针选择60,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,E、F是BC上的点,且EAF=45,试探究间的关系,并说明理由. 题型七：关于翻折问题例1、 如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD
12、边上的点G处,求BE的长.变式：如图,AD是ABC的中线,ADC=45,把ADC沿直线AD翻折,点C落在点C的位置,BC=4,求BC的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由；如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例5、如右图119,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方
13、油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?取3.14,结果保留1位小数,可以用计算器计算变式：如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟？勾股定理练习一 填空题：1. 在RtABC中,C=901若a=5,b=12,则c=_；2b=8,c=17,则SABC=_。2.若一个三角形的三边之比为51213,则这
14、个三角形是_按角分类。3. 直角三角形的三边长为连续自然数,则其周长为_。4传说,古埃及人曾用拉绳的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_厘米,_厘米,_厘米,其中的道理是_.5.命题对顶角相等的逆命题为_,它是_命题.6观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：_。AB第8题图7利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图从图中可以看到：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积因而c2,化简后即为c2abc8 一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是_。二 选择题：9观察下列几组数据: 8, 15, 17; 7, 12, 15; 12, 15, 20; 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形
