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1、.习题3-3 1.按的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4.解设f=x4-5x3+x2-3x+4.因为f=-56,f=|x=4=21,f=|x=4=74,f=|x=4=66,f =24,所以=-56+21+372+113+4. 2.应用麦克劳林公式,按x幂展开函数f=3.解因为f=32,f=62+62=30,f=30+30=30,f =60+30=360,f=360,f=720;f=1,f=-9,f=60,f=-270,f =720,f =-1080,f =720,所以=1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6. 3.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.解因为,
2、所以0q. 4.求函数f=ln x按的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.解因为f=x-1,f=x-2,f=x-3,;,所以. 5.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式.解因为f=x-1,f=x-2,f=x-3,;,所以 0q. 6.求函数f=tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.解因为f=sec2x,f=2sec xsec xtan x=2sec2xtan x,f=4sec xsec xtan2x+2sec4x=4sec2xtan2x+2sec4x,f =8sec2xtan3x+8sec4xtan x+8sec4xtan x;f=0,f=1,f=0,f=2,所以
3、0q. 7.求函数f=xex的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.解因为f=ex+xex,f=ex+ex+xex=2ex+xex,f=2ex+ex+xex=3ex+xex,f =nex+xex;f =k,所以. 8.验证当时,按公式计算ex的近似值时,所产生的误差小于0.01,并求的近似值,使误差小于0.01.解因为公式右端为ex的三阶麦克劳林公式,其余项为,所以当时,按公式计算ex的误差. 9.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值,并估计误差: ; sin18.解 设,则f在x0=27点展开成三阶泰勒公式为.于是,其误差为. 已知,所以 sin 18,其误差为. 10.利用泰勒公式求下列极限:
4、 ; ; .解 .因为,所以. . .习题3-4 1.判定函数f=arctan x-x单调性.解因为,且仅当x=0时等号成立,所以f在内单调减少. 2.判定函数f=x+cos x 的单调性.解因为f=1-sin x0,所以f=x+cos x在0, 2p上单调增加. 3.确定下列函数的单调区间: y=2x3-6x2-18x-7; 0; ; ; y=3; ; y=xne-x0,x0; y=x+|sin 2x|.解 y=6x2-12x-18=6=0,令y=0得驻点x1=-1,x2=3.列表得x-13y+0-0+y可见函数在内单调增加,在-1, 3内单调减少. ,令y=0得驻点x1=2,x2=-2.因
5、为当x2时,y0;当0x2时,y0,所以函数在内单调增加. ,令y=0得驻点,x2=1,不可导点为x=0.列表得x01y-不存在-0+0-y0可见函数在, 1,+内单调减少,在上单调增加. 因为,所以函数在内单调增加. y=3+32.因为当时,y0,所以函数在内单调减少,在内单调增加. ,驻点为,不可导点为,x3=a.列表得xay+不存在+0-不存在+y可见函数在, 内单调增加,在内单调减少. y=e-xxn-1,驻点为x=n.因为当0x0;当xn时,y内单调减少. ,.y是以p为周期的函数,在0,p内令y=0,得驻点,不可导点为.列表得xy+0-不存在+0-y根据函数在0,p上的单调性及y在
6、的周期性可知函数在上单调增加,在上单调减少. 4.证明下列不等式: 当x0时,; 当x0时,; 当时, sin x+tan x2x; 当时,; 当x4时, 2xx2;证明 设,则f 在0,+内是连续的.因为,所以f 在内是单调增加的,从而当x0时f f =0,即,也就是. 设,则f 在0,+内是连续的.因为,所以f 在内是单调增加的,从而当x0时ff=0,即,也就是. 设f=sin x+tan x-2x,则f在内连续,f=cos x+sec2x-2.因为在内cos x-10, cos2x-10,-cos x0,所以f0,从而f在内单调增加,因此当时,ff=0,即 sin x+tan x-2x0
7、,也就是 sin x+tan x2x. 设,则f在内连续,.因为当时, tan xx, tan x+x0,所以f在内单调增加,因此当时,ff=0,即,也就是. 设f=x ln2-2ln x,则f 在4,+内连续,因为,所以当x4时,f0,即f内单调增加.因此当x4时,ff=0,即x ln2-2ln x0,也就是2xx2. 5.讨论方程ln x=ax 0有几个实根？解设f=ln x-ax.则f在内连续,驻点为.因为当时,f0,所以f在内单调增加;当时,f0,所以f在内单调减少.又因为当x0及x+时,f-,所以如果,即,则方程有且仅有两个实根;如果,即,则方程没有实根.如果,即,则方程仅有一个实根
8、. 6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子:f=x+sin x.解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f=x+sin x在内是单调增加的,但其导数不是单调函数.事实上,f=1+cos x0,这就明f在内是单调增加的.f=-sin x在内不保持确定的符号,故f在内不是单调的. 7.判定下列曲线的凹凸性: y=4x-x2; y=sh x; 0; y=x arctan x ;解 y=4-2x,y=-2,因为y0,所以曲线在内是凸的. y=ch x,y=sh x.令y=0,得x=0.因为当x0时,y=sh x0时,y=sh x0,所以曲线在内是凹的. ,.因为当x0时,y0,所以曲线
9、在内是凹的. ,.因为在内,y0,所以曲线y=xarctg x在内是凹的. 8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: .y=x3-5x2+3x+5 ; y=xe-x ; y=4+ex; y=ln; y=earctan x; y=x4,解 y=3x2-10x+3,y=6x-10.令y=0,得.因为当时,y0,所以曲线在内是凸的,在内是凹的,拐点为. y=e-x-xe-x,y=-e-x-e-x+xe-x=e-x.令y=0,得x=2.因为当x2时,y2时,y0,所以曲线在内是凹的,拐点为. y=43+ex,y=122+ex.因为在内,y0,所以曲线y=4+ex的在内是凹的,无拐点. ,.令y=0,得x1=-1,x2=1.列表得x-1-1, 1
