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1、三次数学危机论文 我们给你共享三次数学危机论文，欢迎阅读。三次数学危机论文篇一摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅析自身的认识，实质造成这三次危机起因在与人的认识。首次数学危机是大家对万物皆数的误解，伴随无理数的发现，把首次数学危机度过了。第二次数学危机是大家对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的办法，即剖析办法，剖析办法是算和证的结合。是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现，给数学界以很大的震动，造成了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方法，并在不知不觉中大大推进了数学和逻辑学的进步。
2、关键字：危机;万物皆数;无穷小;剖析办法;集合一、前言数学常常被大家认为是自然科学中进步得最健全的一门学科，但在数学的进步史中，却经历了三次危机，大家为了使数学向前进步，从而引入一些新的东西使问题化解，在首次危机中造成无理数的产生;第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题;第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论打造在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产生与进步，并给出了自身对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。二、数学史上的首次危机首次数学危机是发生在公元前580-568年
3、之间的古希腊。那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为万物旨数。所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。在那个时期。上述思想是绝对权威、是真理。但是不久大家发现即便边长为1的正方形对角线不是可比数。这样毕达哥拉斯万物皆数是不成立的，绝对的权威受到了紧急的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，根据他们的看法，这种长度不是数!另一方面，他们不承认自身的看法有问题，这就陷入了很大的矛盾之中，这是首次
4、数学危机。三、第二次数学危机第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实质上已经学会了无限小剖析的基本要点，直到大量年后。牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地微积分。微积分的主要开创者牛顿在一些典型的推导流程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不可以为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导流程却在逻辑上自相矛盾。直到19世纪，柯西详细而有系统地进步了极限理论。柯西认为把无
5、穷小量作为确定的量，即便是零，都说不过去，它会与极限的概念发生矛盾。无穷小量应该是要如何小就如何小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的定义，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的打造，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。四、数学史上的第三次危机1.悖论的产生及意义啥是悖论悖论来自希腊语，意思是多想一想。这个次的意义比较丰富，它包括一切与人的知觉和平时的经验相矛盾的数学结论，那些结论会使大家惊异无比。悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立;反之，如果承认这个命题的否定命题成
6、立，又可推出原命题成立。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的;如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，他们震撼了逻辑学和数学的基础，激发了大家求知和精密的考虑，吸引了古往今来许多思想家和喜好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的考虑，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。悖论产生的意义疏忽学悖论是在数学学科理论体系进步到相当高的阶段才出现的。它是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示。虽然暂时引起大家的思想混乱，对正常的科学研究可能会形成肯定的冲击，但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾，对于揭露原有理论的缺陷或局限性，对于这一
7、步深入理解，任何和评价原有科学理念，对于原有的科学定义或理论的进一步充实健全和促进科学管理的产生都有相当要紧的意义，同时也为科学研究供应新的课题和研究方向。2.第三次数学危机的产生与解决第三次数学危机的产生第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。罗素在该悖论中所概念的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但起因却又是什么呢?这是由于R是集合，若R含有自己作为元素，就有R R，那样从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自身，这样的集合显然是不存在的。由于既要R有异于R的元素，又要R与
8、R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都需要遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所概念的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的最大的集合了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。第三次数学危机的解决罗素的悖论产生后，数学家们就开始为这场危机探寻解决的方法，其中之一是把集合论打造在一组公理之上，以回避悖论。第一进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，打造了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学
9、家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统，这场数学危机到此缓和下来。目前，大家通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先概念了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。而在七条公理上打造起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以进步。三次数学危机是大家数学史进步中的一个奠基，他为大家日后更详细、深入的研究数学做了非常不错的铺垫，我我想以后或许会有第四次数学危机，但数学家也会把它化解掉，只有出现危机，才能使自己的数学研究达到更高的境界。三次数学危机论文篇二数学的产生和进步，始终与人类社会的生产和生活有着密不可分的联系。在新教
10、程中，任何一个新定义的引入，都特别强调它的现实背景、数学理论进步背景或数学进步的历史背景，只有这样才能让学生感到常识进步水到渠成。所以特别期望在教学中能不时渗透数学史的有关常识，充分发挥和借助数学史的教育价值，使学生通过知道数学史，而愈加全面愈加深刻地理解数学、感悟数学。一、集合论的诞生一般认为，集合论诞生于1873年底。1873年11月29日，康托尔在给戴德金的信中提问正整数集合与实数集合之间能否一一对应起来?这是一个造成集合论产生的大问题。几天后，康托尔用反证法证明了此问题的否定性结果，实数是不可数集，并将这一结果以标题为关于全体实代数数集合的一个性质的论文发表在德国克莱尔数学杂志上，这是
11、关于无穷集合论的第一篇革命性论文，在其系列论文中，他首次概念了集合、无穷集合、导集、序数、集合运算等，康托尔的这篇文章标志着集合论的诞生。二、集合论成为现代数学大厦的基础康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论，他处置了数学上最棘手的对象无穷集合，让无数因无穷而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自身的精神家园。它的定义和办法渗透到了代数、拓扑和剖析等许多数学分支，甚至渗透到物理学等其他自然学科，为这些学科供应了奠基的办法。几乎可以说，没有集合论的看法，很难对现代数学获得一个深刻的理解。集合论诞生的前后20年里，经历千辛万苦，但最后获得了世界的承认，到了20世纪初，集合论已经得
12、到数学家们的一般赞同，大家一致认为，一切数学成就都可以打造在集合论的基础之上了，简言之，借助集合论的定义，便可以打造起整个数学大厦，就连集合论诞生之初强烈反对的著名数学家庞加莱也兴高采烈地在1900年的第二次国际数学家大会上宣布：借助集合论定义，大家可以建造整个数学大厦。今天，大家可以说绝对的严格性已经达到了。然而，好景不长，一个震惊数学界的消息传出，集合论是有漏洞的!如果是这样，则意味着数学大厦的基础出现了漏洞，对数学界来说，这将是多么可怕啊!三、罗素悖论造成第三次数学危机1903年，英国数学家罗素在数学原理一书上给出一个悖论，很了解地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础，造成了数学
13、危机的产生，史称第三次数学危机。罗素构造了一个所有不属于自己的集合R，目前问R是不是属于R?如果R属于R，则R满足R的概念，因此R不属于自己，即R不属于R。另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的概念，因此R应属于自己，即R属于R，这样，不论任何状况都存在矛盾，这就是有名的罗素悖论。罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础，也波及到了逻辑范围，德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时，收到了罗素关于这一悖论的信，他立刻发现，自身忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟，他只能在自身著作的末尾写道：一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工
14、作的基础崩溃了。这样，罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科数学和逻辑学。四、消除悖论，化解危机罗素悖论的存在，明确地表示集合论的某些地方是有问题的，由于20世纪的数学是打造在集合论上的，因此，许多数学家开始致力于消除矛盾，化解危机。数学家纷纷提出自身的解决方法，期望可以通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合概念加以限制来排除悖论，这就需要打造新的原则。在20世纪初，大概有两种办法。一种是1908年由数学家策梅洛提出的公理化集合论，把原来直观的集合定义打造在严格的公理基础上，对集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，从而防止悖论的出现，这就是集合论进步的第二阶段：公理化集合。解铃还须系
15、铃人，在此之前，危机的制造者罗素在他的著作中提出了层次的理论以解决这个矛盾，又称分支类型化。不过这个层次理论十分复杂，而策梅洛则把这个办法加以简化，提出了决定性公理、初等集合公理、分离公理组、幂集合公理、并集合公理、选择公理和无穷公理，通过引进这七条公理限制排除了一些不适当的集合，从而消除了罗素悖论产生的条件。后来，策梅洛的公理系统又经其他人，特别是弗兰克尔和斯科伦的修正和补充，成为现代准则的策梅洛弗兰克尔公理系统，这样，数学又回到严谨和无矛盾的范围，而且更促进一门新的数学分支基础数学飞速进步。五、危机的启示从康托尔集合论的提出到今天，时间已经过去了一百多年，数学又发生了巨大的变化，而这一切都
16、与康托尔的开拓性工作密不可分，也和数学家们的艰辛努力密不可分。从危机的产生到解决，大家可以看到，数学的进步跟提出问题和面对困难是不能离开的，期间要经历无数的挫折和失败，但是只须坚持，终会走向胜利。矛盾的消除，危机的化解，往往给数学带来新的内容，新的变化，甚至革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物进步的历史性动力的基本原理。正如数学家克莱因在数学确定性丧失中说：与将来的数学有关的不确定性和可疑，将取代过去的确定性和自满，虽然这次悖论已经找到讲解，危机也已化解，但是更多的还是未知，由于只须仔细剖析，矛盾又将会被认识更为深刻的研究者发现，这种发现不应该被认为是危机，而应该感到，下一个突破的机会来到了。参考文献：1.一般高中课程准则
