学案4二次函数

《学案4二次函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学案4二次函数（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、学案学案4 4 二二 次次 函函 数数 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破规规 律律 探探 究究考考 纲纲 解解 读读考考 向向 预预 测测考点考点1 1考点考点2 2考点考点3 3 考点考点4 4 考点考点5 5 返回目录 名师伴你行考考 纲纲 解解 读读 (1)会用基本初等函数的图象理解、分析、研究函数的性质.(2)会用一次函数、二次函数模型解决实际问题.二次函数返回目录 名师伴你行 1.二次函数的图象与性质是历年高考命题的热点内容,今后仍将是高考命题的热点. 2.与数学应用问题、函数的最值、不等式的求解及证明、分类讨论等知识结合，在知识的交汇点处命题. 3.

2、选择、填空、解答三种题型都有可能出现.考考 向向 预预 测测 返回目录 1.二次函数函数 叫做二次函数,它的定义域是 .2.y=ax2(a0)的性质和图象特征(1)定义域是 .(2)顶点坐标为 .(3)偶函数,图象关于y轴对称,其对称轴为 .R y=ax2+bx+c(a0) x=0 R (0,0) 名师伴你行返回目录 3.二次函数的三种表示形式 一般式: . 顶点式: ,其中 为抛物线的顶点坐标. 两根式: ,其中 是抛物线与x轴交点的横坐标. 4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系y=ax2+bx+c(a0) y=a(x-h)2+k(a0) (h,k) y=a(x-x1)(

3、x-x2)x1,x2 名师伴你行y=ax2+bx+c(a0)的图象方程ax2+bx+c=0的解无解ax2+bx+c0的解集ax2+bx+c0的解集x=x1 x=x2 x1=x2=x0 x|xx2 x|xx0 R 返回目录 x|x1x0即可.(2)利用根与系数的关系求m.名师伴你行已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数.(1)求证:不论m取何实数,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2的倒数和为 ,求这个二次函数的解析式.返回目录 名师伴你行【解析解析】(1)证明：与这个二次函数对应的一

4、元二次方程是 x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0.=4(m-1)2-4(m2-2m-3)=4m2-8m+4-4m2+8m+12=160,方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根,不论m取何值,这个二次函数的图象与x轴必有两个交点.(2)由题意可知x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的两个实数根,x1+x2=2(m-1),x1x2=m2-2m-3. ,即 , .解得m=0或m=5.经检验,m=0,m=5都是方程的解.所求二次函数的解析式为y=x2+2x-3或y=x2-8x+12. 在掌握函数解析式y=f(x),方程f(x)=0及y=f(x)的图

5、象间的关系的基础上,判别式以及韦达定理是处理根与系数关系的基本工具,必须熟练掌握.返回目录 名师伴你行返回目录 名师伴你行已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(2-x)=f(2+x),其图象的顶点为A,图象与x轴的交点为B,C,其中B点的坐标为(-1,0)且ABC的面积为18,试确定这个二次函数的解析式. 【解析解析】解法一解法一:由f(2-x)=f(2+x),二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=2, 故 点B(-1,0)在f(x)的图象上, 故a(-1)2+b(-1)+c=0, 即a-b+c=0 又ABC的面积为18， 故 2-(-1) = , 即 =6 返回目录 名师伴你行由

6、得b=-4a,分别代入中,得a+4a+c=0,即5a+c=0. =6,即c-4a=6. a= a=- b=- b= c=- c= .f(x)= x2- x- 或f(x)=- x2+ x+ .或由此解得返回目录 名师伴你行解法二解法二:由f(2-x)=f(2+x)知,二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=2,又B(-1,0),故C点坐标为(5,0).设顶点A的纵坐标为y,则由ABC面积为18，有 (5+1)|y|=18，故可解得y=6,A点坐标为(2,6).可设f(x)=a(x-2)2+6或f(x)=a(x-2)2-6.B(-1,0)是f(x)图象上一点,故a(-1-2)2+6=0或a(-1-2

7、)2-6=0.解得a=- 或a= .f(x)=- (x-2)2+6或f(x)= (x-2)2-6.返回目录 名师伴你行（1） 2010年高考四川卷函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 . （2）函数f(x)=2x2+mx-1在区间-1,+)上递增，则 f(-1)的取值范围是 .返回目录 名师伴你行考点考点2 2 二次函数性质的应用二次函数性质的应用 【分析】 利用二次函数的对称轴解决问题.返回目录 名师伴你行 解法二： f(x)=x2+mx+1的对称轴为x= , =1,即m=-2.其充要条件是m=-2.（2）抛物线开口向上，对称轴为x= , -1,m4. 又f(-1

8、)=1-m-3, f(-1)(-,-3.【解析】(1)解法一:函数y=f(x)关于x=1对称的充要条件是f(x)=f(2-x),x2+mx+1=(2-x)2+m(2-x)+1,化简得(m+2)x=m+2,m+2=0,即m=-2. 本题考查了二次函数对称轴的求法,以及利用对称轴研究二次函数的单调性.返回目录 名师伴你行设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0 x1x20 0 0 g(0)0, a3+2 或a3-2 -1a0, 0a3-2 . 故所求实数a的取值范围是(0,3-2 ).即则由题意得返回目录 名师伴你行(2)由题意知f(0)f(1)-f(0)=2

9、a2.令h(a)=2a2,则当0a3-2 时,h(a)是增函数.h(a)h(3-2 )=2(3-2 )2 =2(17-12 ) =2 .即f(0)f(1)-f(0) .返回目录 名师伴你行考点考点3 3 二次函数在给定区间上的最值问题二次函数在给定区间上的最值问题 已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间-1,1上有最小值,记作g(a).(1)求g(a)的函数表达式;(2)求g(a)的最大值. 【分析分析】抛物线对称轴不确定,需讨论对称轴与区间的关系才能求出区间最值. 【解析解析】( (1)由f(x)=2x2-2ax+3=2（x- ）2+3- 知对称轴方程为x= , 根据二次函数的对称轴与题

10、设区间的相对位置分类讨论.返回目录 名师伴你行 当 -1,即a-2时,g(a)=f(-1)=2a+5; 当-1 1,即-2a2时,g(a)=f( )=3- ; 当 1,即a2时,g(a)=f(1)=5-2a. 综合,得 2a+5 (a-2) 3- (-2a2) 5-2a (a2). (2)当a-2时,g(a)1; 当-2a2时,g(a)3; 当a2时,g(a)1. 当a=0时,g(a)的最大值为3.g(a)= 返回目录 名师伴你行 (1)解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式 ,得顶点(m,n)或对称轴方程x=m,可分成三个类型: 顶点固定,区间固定;

11、 顶点含参数,区间固定; 顶点固定,区间变动. (2)二次函数的最值问题能够将有关二次函数的全部知识和性质融合在一起，还经常和实际问题以及其他考点的知识相结合考查考生的函数思想水平和数学抽象能力 ，所以历来为高考命题专家所青睐.解决最值问题的关键是与图象结合 ，就是用数形结合的方法和运动变化的观点进行分析，然后用抽象的数学表达式反映考题的本质.当然这离不开有关函数最值的基本知识，如最值公式 、均值定理、配方法等.返回目录 名师伴你行已知f(x)=x2+ax+3-a，若当x-2,2时，f(x)0恒成立，求a的范围.【解析】f(x)=x2+ax+3-a=（x+ ）2- +3-a.当- 4时，f(x

12、)min=f(-2)=7-3a0,a ,又a4,故此时a不存在.返回目录 名师伴你行返回目录 名师伴你行当-2 2，即-4a4时，f(x)min=f（ ）=3-a- 0,a2+4a-120.-6a2.又-4a4,-4a2. 当 2，即a-4时，f(x)min=f(2)=7+a0,a-7.又a-4，故-7a0,即aa (x+a)2-2a2, xa （)当a0时，f(-a)=-2a2,由知f(x)-2a2,此时g(a)=-2a2. ()当aa,则由知f(x) ;若xa，由x+a2a .= 返回目录 名师伴你行此时g(a)= . -2a2,a0 ,a-2x的解集为x|1x3.（1）若方程f(x)+6

13、a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.【解析解析】（1）f(x)+2x0的解集为x|1x3, 可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a0.因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x =ax2-(2+4a)x+3a. 返回目录 名师伴你行由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.方程有两个相等的根，=-(2+4a)2-4a9a=0,即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=- .由于a0，舍去a=1.将a=- 代入得f(x)的解析式为f(x)=- x2- x- .返回目录 名师伴你行 (2)f(x)=ax2-2(1+

14、2a)x+3a = 由a0 a0, 解得a-2- 或-2+ a0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a元(a0).(1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入,试求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即x多大时),能使这100万农民的人均年收入达到最大.返回目录 名师伴你行 【分析分析】确定函数表达式是关键,由题意可先求自变量x的取值范围. 【解析解析】(1)由题意得(100-x)3 000(1+2x%)1003 000, 即x2-50 x0,

15、解得0 x50. 又x0, 0 x50. (2)设这100万农民的人均年收入为y元,则 返回目录 名师伴你行 若25(a+1)50,即01时,函数在(0,50上是增函数. 当x=50时,ymax=- 502+30(a+1)50+3 000 =-1 500+1 500a+1 500+3 000 =1 500a+3 000. 若01,当x=50时,能使100万农民的人均年收入最大.返回目录 名师伴你行 解实际问题关键是建立数学模型,列出正确的数学关系式.返回目录 名师伴你行某种新产品投放市场的100天中,前40天价格呈直线上升,而后60天其价格呈直线下降,现统计出其中4天的价格如下表:(1)写出价

16、格f(x)关于时间x的函数关系式(x表示投放市场 的第x天);(2)销售量g(x)与时间x的函数关系为:g(x)=- x+ (1x100,xN),则该产品投放市场第几天销售额 最高?最高为多少千元?时间第4天第32天第60天第90天价格(千元)2330227返回目录 名师伴你行【解析解析】(1)用求直线方程的方法得 x+22, 1x40, - x+52, 40 x100.(2)设日销售额为S(x),则当1x40时,S(x)=f(x)g(x)=( x+22)(- x+ )= (x+88)(-x+109)=- (x2-21x-9 592).当x=10或x=11时,S(x)max=808.5(千元).当40 x100时, S(x)=(- x+52)(- x+ )= (x2-213x+11 336).当x=40时,S(x)max=736808.5.综上得:销售额最高在第10天和第11天,最高销售额为808.5千元.f(x)= 返回目录 名师伴你行 1.1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法数形结合是讨论二次函数问题的基本方法. .特别是特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思涉