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1、第2章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的等都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相
2、应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其响应，按照物理量随时间的变化规律，用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型。数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。2.1 物理系统动态描述 微分方程是在时域中描述系统(或元件)动态特性的数学模型，利用它可以得到描述系统（或元件)动态特性的其他形式的数学模型。这里主要运用机理建模法对常见的机械、电气等物理系统建立
3、其数学模型。2.1.1列写微分微分方程的一般方法列写系统或元件的微分方程，目的在于确定系统输入量与输出量之间的数学关系，而系统由元件组成。用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是： 根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量； 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组； 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，各阶导数项按降幂排列。2.1.2机械系统的微分方程机械系统的微分方程可以运用牛顿定律进行推导。下面通过举例说
4、明机械系统微分方程的求取方法。1. 机械系统微分方程例2-1设有一个由弹簧、质量、阻尼器组成的机械平移系统，如图2-1所示。试列写出系统的数学模型。图2-1 机械平移系统解 由牛顿第二定律有，即 整理得 （2-1）式中：m运动物体质量，kg；y运动物体位移，m；f阻尼器粘性阻尼系数，Ns/m；阻尼器粘滞摩擦阻力，它的大小与物体移动的速度成正比，方向与物体移动的方向相反， ；k弹簧刚度，N/m；弹簧的弹性力，它的大小与物体位移（弹簧拉伸长度）成正比，。运动方程式（2-1）即为此机械平移系统的数学模型。例2-2设有一个由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械回转系统，如图2-2所示。外力矩M(t)为输
5、入信号，角位移(t)为输出信号，试列写出系统的数学模型。图2.-2 机械回转系统解 由牛顿第二定律，有，即 整理得 （2-2）式中： J惯性负载的转动惯量，kgm2；转角，rad；f粘性摩擦阻尼器的粘滞阻尼系数，Nms/rad；kJ 扭转弹簧刚度，N.m/rad；运动方程式（2-2）就是此机械旋转系统的数学模型。例2-3设有如图2-3所示的齿轮传动链，试对传动链进行动力学分析。a) 原始轮系图 b) 等效轮系 图2-3 齿轮传动链解 由电动机M输入的转矩为Tm，L为输出端负载，TL为负载转矩。图中所示的zi为各齿轮齿数，J1、J2、J3及1、2、3分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。假设各轴
6、均为绝对刚性，即KJ，根据牛顿第二定律式可得如下动力学方程组 （2-3）式中： f1、f2、f3传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；T1齿轮z1对Tm的反转矩，Nm；T2z1对T1的反转矩，Nm；T3z3对T2的反转矩，Nm；T4z4对T3的反转矩，Nm；TL输出端负载对T4的反转矩，即负载转矩。由齿轮传动的基本关系可知：；于是由式（2-3）可得： （2-4）令；Jeq称为等效转动惯量；令；feq称为等效阻尼系数；令；TLeq称为等效输出转矩。则有 （2-5）则图2-3（a）所示传动装置可简化为图2-3（b）所示的等效齿轮传动装置。2.1.3 电气系统的微分方程电气系统的微分方程根据欧姆定律、基尔
7、霍夫定律（克希荷夫定律）、电磁感应定律等物理定律来进行列写，下面通过举例来说明列写方法。例2-4 图2-4所示为一无源滤波器电路，试写出以输出电压uo(t)和输入电压ui(t)为变量的滤波网络的微分方程。图2-4 RC电路解 根据基尔荷夫定律（克希荷夫定律），可写出下列原始方程式； （2-6）消去中间变量i(t)后得到 （2-7）式（2-7)就是所求系统的微分方程。以上所讨论的系统均具有线性微方程，将具有线性微分方程的控制系统称为线性系统。对于一般研究的系统，其微分方程式的系数均为常数，称之为线性定常(或线性时不变)系统。线性系统具有以下特性。叠加性 线性系统满足叠加原理，即几个外作用施加于系
8、统所产生的总响应等于各个外作用单独作用时产生的响应之和。均匀性 均匀性也称为齐次性，线性系统具有均匀性，就是说当加于同一线性系统的外作用数值增大几倍时，则系统的响应亦相应地增大几倍。在线性系统分析中，线性系统的叠加性和齐次性是很重要的。2.2 非线性系统及其数学模型的线性化 2.2.1 非线性系统本章第一节讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分方程。系统或元件的输出与输入间的关系不满足叠加原理及均匀性原理的，称为非线性系统或元件。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形变有关，并不一定是常数；电阻R、电感L、电容C等参数值与周
9、围环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的电流有关，也不一定是常数；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程等等。严格地说，实际系统的数学模型一般都是非线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。因此，在研究系统时总是力图将非线性问题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围，可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的，可视其中的函数
10、及其各阶导数，如出现高于一阶的项，或导数项的系数是输出变量的函数，则此微分方程是非线性的。机械系统中常见的一些非线性特性举例如下：传动间隙 由齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统中，经常存在有传动间隙（图2.2.1)，使输入转角Xi和输出位移X0间有滞环关系。只有消除了传动间隙，Xi与X0才具有线性关系。死 区 在死区范围内，有输入而无输出动作。负开口液压伺服阀具有典型死区特性，如图2.2.2所示。图2-5传动间隙图2-6死区摩擦力 机械滑动运动副，如机床滑动导轨运动副、主轴套筒运动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力。若假定为干摩擦力（也称库伦摩擦力），如图2-5所示。其大小为f，
11、方向总是和速度的方向相反。实际上，运动副中的摩擦力与运动速度大小及其方向有关，如图2-6所示。图中曲线可大致分为起始点的静动摩擦力、低速时混合摩擦力（摩擦力呈下降特性），以及粘性摩擦力（摩擦力随速度的增加而增加）。由以上各种非线性性质可以看出，在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、折线，以及非单值关系等严重非线性性质的，称为本质非线性性质。在建立数学模型时，为得到线性方程，只能略去这些因素，得到近似解。若这种略去及近似带来的误差较大，那就只能用复杂的非线性处理方法来求解了。不是像以上所说的严重非线性性质，称为非本质非线性性质。对于这种非线性性质，就可以在工作点附近用切线来代替。这时的线性化只有变
12、量在其工作点附近作微小变化，即变量发生微小偏差时，误差才不致太大。非线性微分方程经线性化处理后，就变成线性微分方程了，可以采用普通的线性方法来分析和设计系统。因而这种近似方法，给我们带来了很大的方便。图2-7 干摩擦力图2-8 粘性摩擦力2.2.2 线性化方法-泰勒级数展开法通常系统在正常工作时，都有一个预定工作点，即系统处于这一平衡位置。当系统受到扰动后，系统变量就会偏离预定点，也就是系统变量产生了不大的偏差。自动调节系统将进行调节，力图使偏离的系统变量达到平衡位置。因此，只要非线性函数的这一变量在预定工作点处有导数或偏导数存在，就可以在预定工作点附近将此非线性函数展成泰勒级数。对于非线性函
13、数f（x）及f（x，y），假定系统的预定工作点为0，在该点附近将函数展成泰勒级数，并认为偏差是微小量，因而略去高于一次微增量的项，所得到的近似线性函数如下 （2-8） （2-9）以上两个式中减去静态方程式，得以增量表示的方程为 （2-10） （2-11）式（2-10）及（2-11）就是非线性函数的线性化表达式。在应用中需注意以下几点：（1）式中的变量不是绝对量，而是增量。公式称为增量方程式。（2）预定工作点（额定工作点），若看作是系统广义坐标的原点，则有x0=0，y0=0，f(x0，y0）=0，x=x-x0，y=y-y0=y,因而式（2-10）、（2-11）中的去掉，增量可写为绝对量，公式中的
14、变量为绝对量了。（3）若预定工作点不是系统冠以坐标的原点，这是普遍的情况。又系统的非线性微分方程f(x)=f1(x)+f2(x)(假定变量只有一个x)中仅f2(x)为非线性项，那么当把f2(x)应用式（2-10）线性化后，由于f2(x)成为增量式子，则f(x)及f1(x)也必须把其中的变量改为增量，以组成系统的线性化微分方程。（4）当增量并不很小，在进行线性化时，为了验证容许的误差值，需要分析泰勒公式中的余项。例2-5 铁芯线圈如图2-9（a）所示。试列写以电压为输入，电流为输出的铁芯线圈的微分方程。解 根据克希荷夫定律有 （2-12）式中，为线圈的感应电势，它正比于线圈中磁通变化率，即 （2-13）
