《信号与系统课件9-7 状态矢量的线性变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统课件9-7 状态矢量的线性变换（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.79.7 状态矢量的线性变换状态矢量的线性变换从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于简化系统分析是很有
2、用的。性变换，对于简化系统分析是很有用的。 一、在线性变换下状态方程的特性一、在线性变换下状态方程的特性二、系统转移函数阵在线性变换下是不变的二、系统转移函数阵在线性变换下是不变的三三、A A矩阵的对角化矩阵的对角化四、由状态方程判断系统的稳定性四、由状态方程判断系统的稳定性返回返回一在线性变换下状态方程的特性一在线性变换下状态方程的特性 按线性空间不同基底的变换关系，设一组按线性空间不同基底的变换关系，设一组状态变量状态变量l l与另一组状态变量与另一组状态变量g g之间有之间有矢量形式矢量形式其中其中g g和和l l为列矢量为列矢量系数间的关系系数间的关系设原基底下状态方程表示为设原基底下
3、状态方程表示为 经变换后经变换后或或系数间的关系系数间的关系返回返回例例9-7-19-7-1二系统转移函数阵在线性变换下是不变的二系统转移函数阵在线性变换下是不变的从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状而系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量用不同基底表示时，并不影响系统的物理态矢量用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此对同一系统不同状态变量的选择，本质，因此对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是不变的：系统转移函数应是不变的： 上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，上式以连续系
4、统为例说明状态矢量线性变换的特性，结论同样适用于离散系统。结论同样适用于离散系统。 返回返回系统转移函数阵在线性变换下不变性证明：系统转移函数阵在线性变换下不变性证明：返回返回三三A A矩阵的对角化矩阵的对角化在线性变换中，使在线性变换中，使A A阵的对角化是很有用的变换。阵的对角化是很有用的变换。A A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可以独立研究系统参数对状态变量的影响。以独立研究系统参数对状态变量的影响。在线性代数中已经分析了在线性代数中已经
5、分析了A A矩阵的对角化。实际矩阵的对角化。实际上就是以上就是以A A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A A矩阵对角化所需要的线性变换就是寻求矩阵对角化所需要的线性变换就是寻求A A矩阵的特征矩阵的特征矢量，以次构作变换阵矢量，以次构作变换阵P P，即可把状态变量相互之间，即可把状态变量相互之间分离开。分离开。 返回返回例例9-7-29-7-2四由状态方程判断系统的稳定性四由状态方程判断系统的稳定性用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状由转移函数的分母特征根位置来
6、定出。如果给定为状态方程，则由态方程，则由A A阵的对角化分析可知，阵的对角化分析可知，A A矩阵对角化矩阵对角化后其对角元素是后其对角元素是A A矩阵的特征值，特征值决定了系统矩阵的特征值，特征值决定了系统的自由运动情况。因此可根据的自由运动情况。因此可根据A A矩阵的特征值来判断矩阵的特征值来判断系统的稳定情况。系统的稳定情况。 连续系统稳定性的判断连续系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断 返回返回连续系统稳定性的判断连续系统稳定性的判断稳定系统：稳定系统：A A的特征值的特征值ReRe a ai i0 0这需要解方程这需要解方程 转移函数分母的特征多项式转移函数分母的
7、特征多项式 此方程的根在此方程的根在s s平面上的位置决定了系统的平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在稳定情况，当根落在s s平面的左半平面，可确定平面的左半平面，可确定系统为稳定的。系统为稳定的。 返回返回例例9-7-3离散系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断 即系统的特征根位于单位圆内，和连续系即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似，统相似，A A矩阵的特征值和离散系统转移函数矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。准则也相同。对于离散系统要求系统稳定，对于离散系统要求系统稳定，则要求则要求A A矩阵的
8、特征值矩阵的特征值返回返回例例9-7-49-7-4例例9-7-19-7-1给定系统的状态方程为给定系统的状态方程为 按照下式作线性变换求新的状态方程。按照下式作线性变换求新的状态方程。解：解：给定的变换矩阵为给定的变换矩阵为由变换关系式求出由变换关系式求出这样在给定变换下新的状态方程为这样在给定变换下新的状态方程为返回返回例例9-7-29-7-2将下图所示系统的将下图所示系统的A A矩阵对角化。矩阵对角化。 解：解：此系统变量相互之间是有关系的，系统的状态方程为此系统变量相互之间是有关系的，系统的状态方程为求特征值求特征值 把把 A A矩阵对角化，即寻求矩阵对角化，即寻求A A的特征矢量，的特
9、征矢量，为此先求为此先求A A的特征值的特征值求得特征值为求得特征值为 按特征矢量按特征矢量x x的定义的定义A Ax x= =a ax x，即可由此求特征矢量即可由此求特征矢量x x。求特征矢量求特征矢量则有则有或或 令属于令属于a a1 1=-2=-2的特征矢量为的特征矢量为属于属于a a =-2=-2的特征矢量是多解的，其中之一为的特征矢量是多解的，其中之一为得得特征矢量（特征矢量（续）续）或或得得则有则有令属于令属于a a1 1= -4= -4的特征矢量为的特征矢量为属于属于a a=-4=-4的一个特征矢量为的一个特征矢量为变换阵及新系数矩阵变换阵及新系数矩阵由此构成的变换阵由此构成的
10、变换阵所以有所以有变换后的状态方程变换后的状态方程因此变换后的状态方程为因此变换后的状态方程为g g1 1( (t t) )和和g g2 2( (t t) )互不影响，可表示成联立的两个独立方程互不影响，可表示成联立的两个独立方程结构图结构图方程的解方程的解其中初始条件其中初始条件g g1 1(0(0- -) )和和g g2 2(0(0- -) ) 由下式求出由下式求出方程的解为方程的解为返回返回g g1 1( (t t) )和和g g2 2( (t t) )互不影响，可表示成联立的两个独立方程互不影响，可表示成联立的两个独立方程例例9-7-39-7-3求求K K在什么范围内系统是稳定的？在什
11、么范围内系统是稳定的？ 解：解： （1 1）列出系统的状态方程）列出系统的状态方程（2 2）系统的特征多项式系统的特征多项式解得解得 （3 3）利用罗丝）利用罗丝- -霍尔维兹准则可以知道，为保证霍尔维兹准则可以知道，为保证上列三次多项式的根都落于上列三次多项式的根都落于s s左半平面必须满足左半平面必须满足返回返回即即K K值在此范围内系统稳定。值在此范围内系统稳定。例例9-7-49-7-4给定图示系统，已知给定图示系统，已知a a=-1,-1=-1,-1b b1,1,问此系统是否稳定？问此系统是否稳定？解解：（1 1）列出系统的状态方程列出系统的状态方程或或 (3)(3)判断值范围判断值范
12、围 为了使系统稳定必须有为了使系统稳定必须有即特征根落于单位圆内。按给定的即特征根落于单位圆内。按给定的b b值范围值范围-1-1b b11可可分为两种情况：分为两种情况： （2 2）系统的特征多项式系统的特征多项式系统的特征根为系统的特征根为第一种情况第一种情况a a1 1和和a a2 2为复根为复根即可保证系统稳定。即可保证系统稳定。 为保证系统稳定，两根的模必须小于为保证系统稳定，两根的模必须小于1 1，即，即第二种情况第二种情况同时考虑给定同时考虑给定b b值之范围，解的稳定条件为值之范围，解的稳定条件为才可保证系统稳定才可保证系统稳定, ,特征根落于单位圆内特征根落于单位圆内。综上所述，只有满足综上所述，只有满足为保证系统稳定，必须有为保证系统稳定，必须有或或返回返回a a1 1和和a a2 2为复根为复根
