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1、量子力学课程复习薛正远 （理6-505） 课程公邮： 密 码：physics2015量子力学1一、旧量子论1. Bohr解释黑体辐射问题，将能量量子化，引入能量子的概念。假定：电磁场和物质交换能量是以E = hv 为能量单位(能量子)不连续的形式实现的，比例常数h称为普朗克常数。2. 1905年，Einstein引进光量子(光子)的概念：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量 h的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。 并给出了光子的能量、动量与辐射的频率和波长的关系（p = E/C = hv/C = h/），成功地解释了光电效应。固体的振动能量量子化低温下
2、固体比热问题。解释光电效应的需要，体现出光子的粒子性；实验现象、理论解释光的粒子性的进一步验证-康普顿效应实验现象、理论解释量子力学23. 1913年，玻尔在建立起原子的量子理论。定态假设、量子跃迁原子光谱和电子能量的理论解释4. 法国物理学家德布罗意于1923年提出了物质波这一概念。认为一切微观粒子均伴随着一个波，这就是所谓的德布罗意波。波长 = h/p； 频率= E/h 引入驻波假设客服玻尔理论的缺陷电子波动性的实验验证：电子的衍射与干涉实验。量子力学3二、波函数和薛定谔方程1.波函数：量力学基本假定I1) 微观体系的状态由一个波函数完全描述，从它可以得出体系的所有性质。a) 由 Born
3、 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即 d (r, t) = |(r, t)|2 d b) 已知 (r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 c) 知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。2) 标准条件：连续性、有限性和单值性三个条件。3) 概率解释： | (r)|2 d 表示在 r 附近体积元d内找到粒子的几率。量子力学42. 态叠加原理 ：一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那末它
4、们的线性叠加 = C11 + C22也是该体系的一个可能状态，其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。3.量子力学基本假定II：体系的状态波函数满足Schrodinger 方程：4) 归一化: 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和 C (r, t) 描述同一状态。若 | (r , t )|2 d= A （A0常数），则 |(A) -1/2 (r , t )|2 d= 1(A)-1/2 (r , t )是归一化的波函
5、数，与 (r , t )描写同一几率波；(A)-1/2 称为归一化因子； 将 (r , t )换成(A)-1/2 (r , t )的步骤称为归一化。量子力学54. 粒子在一定空间区域内出现的几率及其随时间变化粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：它满足连续性方程对一个粒子而言，可以证明在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即量子力学65. 关于定态粒子所受势场与 时间无关时，可以用分离变量法求解：代入薛定谔方程得于是：E 就是体系处于波函数(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数(r,t)称为定态波函数。（1）
6、粒子在空间间几率密度与时间时间 无关（2）几率流密度与时间无关（3）任何不显含t得力学量平均值与t 无关可以证明，定态波函数具有以下性质：量子力学7三、一维定态问题1. 一维无限深势阱 V(x)IIIIII0 ab) 概率密度最大的位置。例如对于第一激发态得到可能的最大值点： 判断这些位置 的符号，最终确定最大值的位置： 有n-1个节点（与x轴的交点）。 量子力学82. 一维谐振子有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。b) 粒子的几率分布。例如求解第一激发态的粒子的最概然位置。c) 处于本征态时，力学量的期望值。 例如基态时动能的期望值量子力学93. 势垒贯穿量子力学中，粒子能够穿透比它
7、动能更高的势垒的现象称为势垒贯穿.它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。说明：透射系数随势垒的增高或者变宽而减小 。量子力学10四、算符1.表示力学量的算符：a）量子力学基本假定III(I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。若力学量是量子力学中特有的 (如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：(II) 力学量算符的本征函数组成完全系。测量力学量F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符F的本征值 Fn（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符F的本征方程给
8、出：量子力学11b）线线形算符：(c11+c22)= c11+c22 其中c1, c2是任意复常数，1, 1是任意两个波函数。c）厄密算符定义义: 满满足下列关系的算符称为为厄密算符.性质质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。=量子力学12厄密算符本征函数组成正交归一的完全系。正交：归一：完备备性：量子力学基本假定IV任何力学量算符 F 的本征函数n(x)组组成正交归归一完备备系，在任意已归归一态态(x)中测测量力学量 F 得到本征值值n 的几率等于(x)按n(x)展开式： 中对应对应 本征函数n(x)前的系数 cn 的绝对
9、值绝对值 平方。量子力学13d）力学量的可能值和相应几率测力学量 F 得到的可能值必是力学量算符 F的本征值 n n = 1,2,. .之一,该本征值由本征方程确定：与波函数(x) 按动量本征函数 展开式比较二者完全相同我们知道：(x) 是坐标空间的波函数； c (p) 是动量空间的波函数； 则 cn 则是 F 空间的波函数， 三者完全等价。而每一本征值n各以一定几率出现。 由于n(x)组成完备系，所以体系任一状态(x)可按其展开：量子力学14当(x)已归一时，cn 也是归一的（不同的表象不改变波函数的归一化）。e）力学量的平均值如果波函数未归归一化则则=量子力学152. 二个具体力学量算符a
10、) 动量算符坐标和动量的对易关系：本征函数动量表象的波函数量子力学16b) 角动量算符对应一个值有(2 +1)个量子状态，这种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 。量子力学173. 二个力学量算符的关系a）对易：同时具有确定值；有组成完全系的共同本征函数。b）不对易量子力学18五、氢原子1. 中心力场问题能量只与主量子数 n 有关，而本征函数与 n, , m 有关，故能级级存在简简并。量子力学192. 氢原子b) 角、径向几率分布：径向节点数 n r = n 1a)c) 电子能级的简并度（不计自旋）: n2 d) 处于本征态时，力学量的期望值。 例如基态时动能的期望值量子力学20六、表象
11、表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。动量本征函数：组组成完备备系，任一状态态可按其展开假设设 (x,t) 是归归一化波函数，则则 C(p,t) 也是归归一。|C(p,t)| 2 d p 是在(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p p + d p 范围内的几率。在动动量表象中，具有确定动动量p的粒子的波函数是以动动量p为变为变 量的- 函数。 换换言之，动动量本征函数在自身表象中是一个函数。1. 动量表象量子力学212. 力学量表象设设 算符Q的本征值为值为 ： Q1, Q2, ., Qn, .， 相应应本征函数为为：u1(x), u2(x), ., un(x), .
12、。若, un都是归一化的，则 an(t) 也是归一化的。由此可知，| an| 2 表示在(x,t)所描述的状态态中测测量Q得Qn的几率。a1(t), a2(t), ., an(t), .就是(x,t)所描写状态态在Q表象中的表示。量子力学223. 算符的矩阵表示=F可以证证明：（1）力学量算符用厄密矩阵阵表示（2）力学量算符在自身表象中为对角矩阵矩阵本征值与本征矢量的求解量子力学234. 本征矢的封闭性所以 它们也称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。 同理即得态矢按各种力学量本征矢的展开式（某一表象下的形式） 。投影算符： |Qn上，相当于把 | 投影到左基
13、矢 |Qn 或 |q 上，即作用的结果只是留下了该态矢在 |Qn 上的分量 或 。故称 |Qn 表示体系在此态中有 n 个粒子（声子）称为 n 个声子态。以 |n 为基矢的表象称为占有数表象.量子力学256 幺正变换由于本征基矢的封闭性 B 基矢可按 A 的基矢展开：S 矩阵元S k, k = 1, 2, 3, . 即是 基矢 | 在A表象中的表示，反之，如果我们已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表象中的表示，那末我们就可以直接把 S 变换矩阵写出来。力学量 A, B 其本征方程分别为:满足S+=S-1的矩阵称为幺正矩阵；由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换；由一个表象到另一个表象的变换是幺正变
14、换。量子力学26为清楚简单起见，假设：A 和B的本征矢各只有3个，分别为:|1, |2, |3 和|1, |2, |3 。在 A 表象中，B 的本征基矢可表示为：将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：就是由 A 表象到 B 表象的么正变换矩阵。 量子力学27（1）波函数变换关系b = S+ a= S-1 a（2）算符 F 的变换变换 关系F = S+ F S = S-1 F S 波函数和算符的变换关系幺正变换的性质（1）幺正变换变换 不改变变算符的本征值值（2）幺正变换不改变矩阵的迹（3）矩阵方程式经幺正变换保持不变（4）幺正变换不改变厄密矩阵的厄密性量子力学28七、微扰论1 非简并定态微扰论
15、 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分：微扰适用条件量子力学292. 简并定态微扰论假设En(0)是简并的，那末属于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 个归一化本征函数：| n1 , | n 2 , ., | n k ; =满满足本征方程：解此久期方程可得能量的一级修正En(1)的k个根：En(1), = 1, 2, ., k. 因为En = En(0) + E(1)n 所以， 1) 若这k个根都不相等，那末一级微扰就可以将 k 度简并完全消除； 2) 若En (1)有几个重根，则表明简并只是部分消除，必须进一
16、步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。量子力学303. 氢原子一级 Stark 效应（1）Stark 效应氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。（2）外电场下氢原子 Hamilton 量将 H 的矩阵元代入久期方程：解得 4 个根：量子力学314. 含时微扰论求解方法同定态微扰中使用的方法：量子力学32因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = nk。末态不等于初态时 mk = 0，则所以体系在微扰作用下由初态 k 跃迁到末态m 的几率在一级近似下为：量子力学331) 常微扰设 H 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：跃迁速率：跃迁速率将与时间无关，且仅在能量m k ，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。 在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。量子力学342）简谐微扰(I) 当 = mk 时，A）共振现象 量子力学35(II) 当 = mk 时，(III) 当 mk 时，两项都不随时间增大仅当 =mk = (m k)/ 或m =k 时，出现明显跃
