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1、自动控制原理自动控制原理朱亚萍朱亚萍杭州电子科技大学自动化学院杭州电子科技大学自动化学院3.3 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析一、二一、二阶阶系系统统的数学模型的数学模型 二阶控制系统二阶控制系统开环传递函数为：开环传递函数为：闭环传递函数为：闭环传递函数为：令令则则闭环极点为：闭环极点为：当当时，时，一对共轭复根一对共轭复根欠阻尼欠阻尼两个相异的负实根两个相异的负实根过阻尼过阻尼当当时，时，二重负实根二重负实根临界阻尼临界阻尼当当时，时，一对共轭虚根一对共轭虚根无阻尼无阻尼当当时，时，二、二二、二阶阶系系统统的的单单位位阶跃阶跃 响响应应1. 1.欠阻尼欠阻尼（00 111）二
2、二阶阶系系统统的的单单位位阶跃阶跃 响响应应对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：令令则过阻尼二阶系统的输出拉氏变换为：则过阻尼二阶系统的输出拉氏变换为：T T1 1和和T T2 2为过阻尼二阶系统的时间常数，且有为过阻尼二阶系统的时间常数，且有T T1 1T T2 2。4. 4.无阻尼无阻尼（ =0=0）二二阶阶系系统统的的单单位位阶跃阶跃 响响应应可见，这是一条平均值为可见，这是一条平均值为1 1的正、余弦形式的等幅振的正、余弦形式的等幅振荡，其振荡频率为荡，其振荡频率为n n，故可称为无阻尼振动频率，故可称为无阻尼振动频率。实际的控制系统通常都有
3、一定的阻尼比，因此不可能实际的控制系统通常都有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得通过实验方法测得n n，而只能测得，而只能测得 d d，且小于，且小于 n n。S1,2 = j nj0j0j0j0 1 10 1 0 2 - 1S1,2=- nnS1,2=- n-n=-j1- 2 nS1,2=n j0j0j0j0T11T21 1 10 1 0h(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1 -(1+nt) e- tnh(t)= 1-cosnt过阻尼临界阻尼零阻尼 sin(dt+)e- t h(t)=1- 211n欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线二阶系统单位阶跃响应曲线三、
4、欠阻尼二三、欠阻尼二阶阶系系统统的的动态过动态过 程分析程分析1. 1.延迟时间延迟时间t td d的计算的计算令令，即，即或或式中式中近似有近似有增大自然频率或减小阻尼比，都可减小延迟时间。增大自然频率或减小阻尼比，都可减小延迟时间。2. 2.上升时间上升时间t tr r的计算的计算令令，即，即式中式中得得可见，当阻尼比可见，当阻尼比 一定时一定时，阻尼角，阻尼角不变，系统的不变，系统的响应速度与响应速度与 n n成正比，而当阻尼振荡频率成正比，而当阻尼振荡频率 d d一定时一定时，阻尼比越小，上升时间越短。，阻尼比越小，上升时间越短。3. 3.峰值时间峰值时间t tp p的计算的计算令令，
5、即，即由于由于得得可见，峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。或者说，可见，峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。或者说，峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比。峰值时间与闭环极点的虚部数值成反比。整理得整理得，根据峰值时间定义取，根据峰值时间定义取4. 4.超调量超调量的计算的计算考虑到考虑到可见，超调量可见，超调量仅是阻尼比仅是阻尼比的函数的函数。，求得，求得5. 5.调节时间调节时间t ts s的计算的计算总是在包络线总是在包络线往往采用包络线代替实际响应来估算调节时间，往往采用包络线代替实际响应来估算调节时间，所得结果略保守。所得结果略保守。之内，为方便起见，之内，为方便起见，响应曲线响应曲线令令代表
6、实际响应与稳态输出之间的误差，则有代表实际响应与稳态输出之间的误差，则有假定假定 0.80.8，并在上述不等式右端分母中代入，并在上述不等式右端分母中代入 =0.8=0.8。若取若取=0.05=0.05，得得若取若取=0.02=0.02，得得nj0S1,2=- n j 1- 2 n- nd= n1- 2h(t)= 11- 21e- ntsin(dt +)- d得 tr=令h(t)=1取其解中的最小值，令h(t)一阶导数=0，取其解中的最小值，得 tp= d由%=h()h(tp) h()100%由由包络线求调节时间包络线求调节时间eh(t)= 11- 21- ntsin(t+d )（0 0.8）
7、得 % =e- 100%例例3-13-1 设系统结构图如图所示，若要求系统具有性能设系统结构图如图所示，若要求系统具有性能指标为指标为=20%, =20%, t tp p=1=1s s。试确定系统参数试确定系统参数K K和和K KA A值，值，并计算单位阶跃响应的特征量并计算单位阶跃响应的特征量t td d，t tr r和和t ts s 。解解 系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为与传递函数标准形式相比，可得与传递函数标准形式相比，可得由由 与与的关系式的关系式，解得，解得再由再由峰值时间计算公式峰值时间计算公式，解得，解得从而从而解得解得四、二阶系统的单位脉冲响应四、二阶系统的单位脉冲响应单
8、位脉冲响应可以通过单位阶跃响应求导得到：单位脉冲响应可以通过单位阶跃响应求导得到：uu单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交的点必然单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交的点必然是峰值时间是峰值时间t tp p ；uu从从t t=0=0到到t tp p时间内，单位脉冲响应曲线与时间轴所时间内，单位脉冲响应曲线与时间轴所包围的面积等于包围的面积等于1+1+ ; ;uu单位脉冲响应曲线与时间轴所包围的面积代数和单位脉冲响应曲线与时间轴所包围的面积代数和为为1 1。tp1+tg(t)0五、二阶系统的单位斜坡响应五、二阶系统的单位斜坡响应1. 1.欠阻尼欠阻尼（0 01 1）单位斜坡响应单位斜坡响应系统的误差
9、为：系统的误差为：令令，则，则2. 2.临界阻尼（临界阻尼（ 1 1）单位斜坡响应）单位斜坡响应3. 3.过阻尼（过阻尼（ 1 1）单位斜坡响应）单位斜坡响应六、二阶系统性能的改善六、二阶系统性能的改善1. 1.比例微分控制比例微分控制闭环闭环传递函数为：传递函数为：开环开环传递函数为：传递函数为：比例微分控制系统比例微分控制系统上式可改写为：上式可改写为：式中式中可见，二阶系统引进比例微分控制后，当比例系数可见，二阶系统引进比例微分控制后，当比例系数k kp p11时，选择合适的时，选择合适的k kd d，总可以使系统的无阻尼振荡，总可以使系统的无阻尼振荡频率和阻尼比都增大。频率和阻尼比都增
10、大。这是否表明系统的超调量和调整时间都将减小，从而这是否表明系统的超调量和调整时间都将减小，从而使系统的瞬态性能得到改善？使系统的瞬态性能得到改善？当输入为单位阶跃时：当输入为单位阶跃时：为叙述方便，将闭环传递函数改写为：为叙述方便，将闭环传递函数改写为：式中式中因此因此假设假设00 11，可得：，可得：c1(t)c2(t)c(t)c(t)t t0 01 1具有零点的二阶系统的单位阶跃响应具有零点的二阶系统的单位阶跃响应由图可见，由于由图可见，由于c c2 2( (t t) )的影的影响使得响使得具有附加零点的二具有附加零点的二阶系统比典型二阶系统的阶系统比典型二阶系统的单位阶跃响应具有更快的
11、单位阶跃响应具有更快的响应速度和更大的超调量响应速度和更大的超调量。c c( (t t) )附加零点对附加零点对c c( (t t) )的影响的影响为了更加清楚地说明附加为了更加清楚地说明附加零点对二阶系统的影响，零点对二阶系统的影响，令令在同一阻尼比在同一阻尼比 的条件下，绘的条件下，绘出当出当 为不同值时为不同值时c c( (t t) )和和 n n之间之间的关系曲线，如右图所示。的关系曲线，如右图所示。思考：思考： = = 意味着什么？意味着什么？由图可见，随着由图可见，随着 的减小，超调量明显增大，附加零的减小，超调量明显增大，附加零点对系统的影响愈加显著。点对系统的影响愈加显著。可写
12、出可写出c c ( (t t) ) 的紧凑型形式为：的紧凑型形式为：式中式中根据根据c c( (t t) )的表达式和瞬态性能指标的定义，可以得出的表达式和瞬态性能指标的定义，可以得出具有附加零点的二阶系统主要性能指标如下：具有附加零点的二阶系统主要性能指标如下：上升时间：上升时间：超调量：超调量：调整时间：调整时间：式中式中 % % 与超调量与超调量 的关系的关系在同一阻尼比在同一阻尼比 =0.3=0.3、 =0.5=0.5和和 =0.8=0.8时，超调量时，超调量 与与 的关系曲线，如下图所示。的关系曲线，如下图所示。由图可见，当由图可见，当 =0.3=0.3， 7 7或或 =0.5 =0
13、.5 ， 4 4时，时，附加零点对超调量的影附加零点对超调量的影响可以忽略。响可以忽略。结论：结论：在欠阻尼的二阶系统的前向主通道中加入微分环节在欠阻尼的二阶系统的前向主通道中加入微分环节后，系统的无阻尼振荡频率后，系统的无阻尼振荡频率 n n和和阻尼比阻尼比 都可以增大都可以增大。从这个角度说，可以有效地减小原二阶系统超调。从这个角度说，可以有效地减小原二阶系统超调量量 和调节时间和调节时间t ts s。同时附加一个零点的二阶系统相对典型二阶系统来同时附加一个零点的二阶系统相对典型二阶系统来说，当阻尼比说，当阻尼比 和无阻尼自然频率和无阻尼自然频率 n n不变时，超调量不变时，超调量增大，响
14、应速度加快。增大，响应速度加快。 综合起来，典型二价系统引入比例微分控制后，只综合起来，典型二价系统引入比例微分控制后，只要比例系数要比例系数k kp p和微分系数和微分系数k kd d选择恰当，系统的响应选择恰当，系统的响应速度加快，超调量和调节时间减小。速度加快，超调量和调节时间减小。 在二阶系统的前向主通道加入比例微分环节后，改在二阶系统的前向主通道加入比例微分环节后，改善系统响应性能的效果很明显，但在实际使用中，善系统响应性能的效果很明显，但在实际使用中，存在存在难以克服的缺点：难以克服的缺点：l l在实际中不能构造出理想的比例微分环节；在实际中不能构造出理想的比例微分环节；l l微分
15、环节对于噪声，尤其是对频率较高噪声的放微分环节对于噪声，尤其是对频率较高噪声的放大作用，远大于缓慢变化输入信号的放大作用。大作用，远大于缓慢变化输入信号的放大作用。 因此，在输入信号伴有较强噪声的系统中应避免因此，在输入信号伴有较强噪声的系统中应避免采用串联比例微分环节。采用串联比例微分环节。2. 2.测速反馈控制测速反馈控制测速反馈控制系统测速反馈控制系统系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：原系统的开环增益为：原系统的开环增益为： 可见，测速反馈会降低系统的开环增益，从而加可见，测速反馈会降低系统的开环增益，从而加大系统在斜坡输入时的稳态误差。大系统在斜坡输入时的稳态误差。系统的开环
16、增益为：系统的开环增益为：系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为： 式中式中 t t为采用输出微分反馈后二阶系统的阻尼比，其值为采用输出微分反馈后二阶系统的阻尼比，其值为：为： 可见，如果选择的参数合适使可见，如果选择的参数合适使 t t = = kdkd，则输出微，则输出微分反馈的二阶系统与串联比例微分环节的系统在增大分反馈的二阶系统与串联比例微分环节的系统在增大系统阻尼比的效果是相同的，因而，在抑制超调量方系统阻尼比的效果是相同的，因而，在抑制超调量方面有相似的效果。面有相似的效果。 在设计测速反馈控制系统时，可以适当增加原系在设计测速反馈控制系统时，可以适当增加原系统的开环增益，以弥补稳态误差的损失；同时适当选统的开环增益，以弥补稳态误差的损失；同时适当选择系数择系数 使阻尼比使阻尼比 t t在在0.40.4到到0.80.8之间，从而满足给定的各之间，从而满足给定的各项动态性能指标。项动态性能指标。3. 3.比例微分控制与测速反馈控制的比较比例微分控制与测速反馈控制的比较附加阻尼来源附加阻尼来源比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端
