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1、选择性必修二4.2 等比数列同步练习一、单选题1已知是数列的前项和，则数列是（ ）A公比为3的等比数列B公差为3的等差数列C公比为的等比数列D既非等差数列，也非等比数列2已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）ABC2D33音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（ ）A“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列B“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列C“宫
2、”“商”“角”的频率成公比为的等比数列D“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列4设，若p：成等比数列；q：，则（ ）Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件5已知数列：，.，的前n项和为，正整数，满足：，是满足不等式的最小正整数，则（ ）A6182B6183C6184D61856已知函数，为x轴上的点，且满足，过点分别作x轴垂线交于点，若以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，其中，则满足条件的p，q共有（ ）A0对B1对C2对D无数对二、多选题7数列为等比数列（ ）.A为等比数列B为等比数
3、列C为等比数列D不为等比数列（为数列的前项）8设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）ABC的最大值为D的最大值为9已知数列满足，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（ ）ABCD三、填空题10若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于_11等比数列的公比，则使成立的正整数的最大值为_12平面直角坐标系中，已知点.且，当时，点无限趋近于点，则点的坐标是_.四、解答题13设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和为.14已知数列的前项和为，且满足.（
4、1）证明数列是等比数列；（2）若数列满足，记数列前项和为，证明.15已知数列满足,.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)证明:.16已知等比数列的前n项和为，若，成等差数列，且，.（1）求等比数列的通项公式（2）若，求前2020项和；（3）若，是与的等比中项且，对任意， ，求取值范围.答案解析一、单选题1已知是数列的前项和，则数列是（ ）A公比为3的等比数列B公差为3的等差数列C公比为的等比数列D既非等差数列，也非等比数列【答案】D【分析】由得，然后利用与的关系即可求出【详解】因为，所以所以当时，时，所以故数列既非等差数列，也非等比数列故选：D【点睛】要注意由求要分两步：
5、1. 时，2. 时.2已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）ABC2D3【答案】D【分析】先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果.【详解】设等比数列公比为当时，不符合题意，当时，得，又，由，得，故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论与两种情况，这是易错点.3音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“微”，“微”经过一
6、次“益”，频率变为原来的，得到“商”依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（ ）A“商”“羽”“角”的频率成公比为的等比数列B“宫”“微”“商”的频率成公比为的等比数列C“宫”“商”“角”的频率成公比为的等比数列D“角”“商”“宫”的频率成公比为的等比数列【答案】C【分析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果【详解】设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，由于a，a，a成等比数列，所以
7、“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为，故选：C【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题4设，若p：成等比数列；q：，则（ ）Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；对命题，当时，成立；当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件考点：等比数列的判定，柯西不等式，充分条件与必要条件5已知数列：，.，的前n项和为，正整数，满足：，是满足不等式的最小正整数，则（ ）
8、A6182B6183C6184D6185【答案】B【分析】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为，该行有项，那么位于数阵第11行最后一项，通过计算得；设数阵中第k行各项之和为，则，故通过计算可得满足的最小正整数，即可得出最后结果.【详解】由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项将数列中的项排成杨辉三角数阵且使得第k行每项的分母为，该行有项，如下所示：对于，位于数阵第11行最后一项，对应于数列的项数为，；对于，数阵中第k行各项之和为，则，且数列的前k项之和，而，故恰好满足的项位于第11行假设位于第m项，则有，可得出由于，则，因为前10行最后一
9、项位于的第项，因此，满足的最小正整数，所以故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和公式，考查了学生的归纳推理能力和运算求解能力.6已知函数，为x轴上的点，且满足，过点分别作x轴垂线交于点，若以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，其中，则满足条件的p，q共有（ ）A0对B1对C2对D无数对【答案】C【分析】由已知可得，由与相似得到或，再分情况讨论即可得到答案.【详解】如图，由题意，的纵坐标为，所以，与均为直角三角形，故与相似或.当时，无解；当时，所以故存在两对满足条件的，分别为，或，故选：C【点睛】本题考查数列与函数的应用，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道中档题.二、多选题7数
10、列为等比数列（ ）.A为等比数列B为等比数列C为等比数列D不为等比数列（为数列的前项）【答案】BCD【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可.【详解】解：设的公比为，A. 设，则，显然不是等比数列.B. ，所以为等比数列.C. ，所以为等比数列.D. 当时，显然不是等比数列；当时，若为等比数列，则，即，所以，与矛盾，综上，不是等比数列.故选：BCD.【点睛】考查等比数列的辨析，基础题.8设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）ABC的最大值为D的最大值为【答案】ABD【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据
11、项的性质判断C,D.【详解】若，则与矛盾；若，则与矛盾；因此，所以A正确；，因此，即B正确；因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误；因为当时，当时，所以的最大值为，即D正确；故选：ABD【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.9已知数列满足，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（ ）ABCD【答案】CD【分析】根据数列满足，得到，两式相减得：，然后利用等差数列的定义求得数列 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列满足，所以，两式相减得：，所以奇数项为1，3，5，7，.的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，.的等差数列；所以数列 的通项公式是，A. 令时，
12、，而 ，故错误；B. 令时， ，而 ，故错误；C. 当时， ，而 ，成立，当时，因为，所以，所以，故正确；D. 因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；故选：CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.三、填空题10若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于_【答案】9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案【详解】由
13、题意可得：a+b=p，ab=q，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：；解得：p=a+b=5，q=14=4，则p+q=9故答案为9点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q11等比数列的公比，则使成立的正整数的最大值为_【答案】18【分析】求出数列前n项的和，根据不等式之间的关系求解可得答案.【详解】解：由等比数列的公比，可得，可得：，则，且，由为等比数列，可得是以为首项，公比为的等比数列，则原不等式等价为：，因为，把，代入整理得：，可得：，即：，由,故答案为：18.【点睛】本题主要考查数列与不等式的综合，计算量大，属于中档题型.12平面直角坐标系中，已知点.且，
